Розглянемо задачу…

Укладач О. О. Старова, м. Харків


Відомо, що в навчанні математики задачі відіграють першорядну роль. Саме під час розв’язування математичних задач учні свідомо і міцно засвоюють систему математичних знань, умінь і навичок. Більше того, у процесі розв’язування задач у школярів можна сформувати якості, притаманні творчій особистості.

Якщо говорити про загальні задачі, не пов’язані з математикою, то більшість із них розв’язується в процесі цілеспрямованої і планомірної діяльності людини. Нарівні з такими задачами існують і такі, що виникають випадково і вимагають термінового розв’язання. Успіх у розв’язуванні таких задач нерідко залежить від кількох факторів, а саме:

- настільки людина підготовлена до діяльності творчого характеру;

- чи володіє вона певною системою знань;

- чи вміє мислити і діяти самостійно;

- чи розвинена у неї здатність до актуалізації знань і досвіду;

- чи є здатність до раціоналізації, оптимального, за цих умов, вибору;

- чи може вона критично осмислювати отримані результати.

Засобом підготовки до такого виду діяльності і є математичні задачі.

 

Що таке задача?

У широкому змісті слова, задача — це проблемна ситуація з явно створеною метою, якої треба досягти; у вузькому — задачею також називають мету, задану в рамках проблемної ситуації, тобто те, що потрібно зробити.

До означення математичної задачі існують різні підходи. Найбільш загальним є визначення задачі як цілі, заданої в певних умовах (О. М. Леонтьєв). Л. Л. Гурова звертає основну увагу на об’єкт розумових зусиль людини, яка розв’язує задачу: «Задача — об’єкт розумової діяльності, що містить вимогу деякого практичного перетворення чи відповіді на теоретичне запитання шляхом пошуку умов, що дозволяють розкрити зв’язки між відомими і невідомими її елементами».

Г. О. Баллпропонує таке означення: «Задача в найбільш загальному вигляді — це система, обов’язковими компонентами якої є: 1) предмет задачі, що знаходиться у вихідному стані, 2) модель стану предмета задачі, який вимагається (вимога задачі).

Л. М. Фрідман визначає задачу як модель проблемної ситуації, виражену за допомогою знаків деякої природної чи штучної мови.

Таким чином, існує декілька означень задачі:

- як мети, заданої в певних умовах;

- як об’єкта розумової діяльності;

- як системи, що складається із предмета задачі і вимоги задачі;

- як моделі проблемної ситуації.

Існує і психологічний аспект поняття задачі. У процесі навчання школярам пропонують величезну кількість задач (уміщених у підручниках чи складених учителем). З першого погляду, ця множина задач існує незалежно від учнів. Але насправді кожна задача стає задачею по суті лише тоді, коли сам учень «приймає» цю задачу, тобто починає працювати над її розв’язанням. Як зазначає А.Славська, задача у психологічному аспекті береться в певному відношенні до людини, вона змушує мислити, шукати спроби її розв’язання, захоплює. Ця «прийнята» задача, на відміну від тих, що пройшли мимо, по суті й є задачею. Із цим не можна не погодитися!

 

Функції задач в навчанні математики

У педагогічній практиці прийнято розмежовувати задачі з дидактичними, пізнавальними і розвивальними функціями.

Задачі з дидактичними функціями призначені переважно для полегшення засвоєння вже вивчених теоретичних відомостей курсу. Це задачі на пряме застосування вивченої теорії чи залежності, що розглядається, на закріплення основних фактів шкільного курсу математики.

Задачі з пізнавальними функціями зорієнтовані на засвоєння змісту шкільного курсу математики. У процесі їх розв’язування учні поглиблюють обов’язковий для засвоєння всіма матеріал, вивчений у класі, ознайомлюються з важливими в пізнавальному плані теоретичними відомостями, з методами розв’язування задач, які раніше не вивчалися.

Задачі з розвивальними функціями — це задачі, зміст яких може відходити від основного курсу математики, посильно ускладнювати деякі з вивчених раніше питань шкільної програми. Під час розв’язування цих задач учневі недостатньо застосовувати теоретичні відомості чи вже відомі методи розв’язування задач, а необхідно проявити видумку, кмітливість.

Значного поширення набув також поділ задач за їхньою роллю в навчальному процесі на задачі як засіб і як мету навчання.

Задачі як засіб навчання виконують такі функції:

- навчання математичної діяльності;

- розвиток мислення учнів;

- виховання (через зміст, організацію діяльності, спілкування);

- навчання моделюванню явищ дійсності.

Якщо задачу розглядати як мету навчання, то передбачається, що учень у результаті розв’язування засвоює поняття задачі, її структуру і компоненти; процес розв’язування, прийоми роботи з текстом задачі, способи розв’язання окремих різновидів задач, загальні методи пошуку розв’язання.

Одна й та сама задача залежно від її ролі в процесі навчання може виконувати різні функції. Крім того, визначальним є місце цієї задачі серед набору чи системи задач.

 

Як навчити розв’язувати задачі

Існує думка, що навчити людину не можна. Людині можна допомогти навчитися. Тому перше, що має зробити вчитель, щоб навчити учнів розв’язувати задачі, це виховати у них бажання вчитися. Якщо у школяра таке бажання є, то ми можемо допомогти йому навчитися розв’язувати задачі.

 

Аналіз задачі

Однією з найважливіших складових уміння розв’язувати задачі є вміння їх аналізувати. Будь-яка задача є вимогою чи запитанням, на які потрібно знайти відповідь, ураховуючи умови, зазначені в задачі. Починаючи розв’язувати будь-яку задачу, потрібно її уважно вивчити, визначити, у чому полягає її вимога, які умови, виходячи із яких потрібно розв’язати задачу.

Перше, що потрібно зробити під час аналізу задачі, — це розділити формулювання задачі на умови і вимоги. Зазвичай у задачі не одна умова, а декілька елементарних (тобто нероздільних надалі) умов; вимог у задачі теж може бути декілька. Тому необхідно розділити всі твердження і вимоги задачі на окремі елементарні вимоги.

Приклад 1. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 5 см і 12 см. Знайдіть катети трикутника.

Елементарні умови цієї здачі такі:

1)      трикутник, про який ідеться в задачі, прямокутний;

2)      у цей трикутник вписане коло;

3)      точка дотику кола з гіпотенузою ділить її на два відрізки;

4)      довжина одного із цих відрізків дорівнює 5 см;

5)      довжина другого відрізка дорівнює 12 см.

 

Елементарні вимоги задачі:

1)      знайти довжину одного катета трикутника;

2)      знайти довжину другого катета трикутника;

 

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння ax4x3+a2xa=0.

 

Елементарні умови:

1) а — є параметр;

2) x —змінна, область змін якої є всі дійсні числа;

3) ax4x3+a2xa=0 — є вираз зі змінною x.

 

Вимога:

Знайти такі вирази x через a які, будучи підставленими в заданий вираз зі змінноюзамість x перетворюють його на істинне висловлювання при всіх допустимих значеннях параметра a.

 

Для деяких більш складних задач аналіз доцільно продовжити. А саме: визначити, як збудовані (із чого складаються) виділені умови.

 

Приклад 3. До двох кіл, радіуси яких дорівнюють 4 см і 6 см, проведені внутрішні спільні дотичні, що виявилися взаємно перпендикулярними. Знайдіть відстань між центрами кіл.

 

Ця задача містить такі елементарні умови:

1) подане коло з центром О1 і радіусом 4 см;

2) із деякого іншого центру О2 проведене коло радіусом 6 см;

3) ці два кола побудовані так, що до них можна провести спільні внутрішні дотичні;

4) спільні внутрішні дотичні до цих двох кіл взаємно перпендикулярні.

 

Аналізуючи ці умови, бачимо, що кожна з них складається із одного чи декількох об’єктів і деякої їх характеристики. Так, об’єктом першої умови є коло, а її характеристикою — радіус дорівнює 4 см. У другій умові об’єктом є також коло з характеристикою — радіус дорівнює 6 см. У третій умові два об’єкти — два кола, а характеристикою є їх взаємне розташування на площині: вони розташовані так, що до них можна провести внутрішні спільні дотичні. Четверта умова містить два об’єкти — спільні внутрішні дотичні до кіл, характеристикою є їх відношення: вони взаємно перпендикулярні.

 

Отже, у кожній умові задачі є один або два (у деяких випадках більше) об’єктів. Якщо об’єкт один, то зазначена його характеристика у вигляді деякої властивості, якщо об’єктів два, то характеристикою є деяке відношення цих об’єктів.

 

Аналіз задачі — це лише один із етапів у процесі її розв’язання. Ми зупинилися на ньому так детально через те, що вміння аналізувати задачу — це головне в загальному вмінні розв’язувати задачі.

 

Структура процесу розв’язування задачі

Отримавши задачу, перше, що потрібно зробити, — це розібратися в тому, що це за задача, які її умови, у чому полягає її вимога, тобто зробити аналіз задачі. Аналіз задачі — це перший етап процесу розв’язування задачі.

 

У ряді випадків цей аналіз потрібно якось оформити, записати. Для цього використовують схематичні записи задач, побудова яких складає другий етап процесу розв’язування задачі.

 

Аналіз задачі і побудова її схематичного запису потрібні для того, щоб знати спосіб розв’язання цієї задачі. Пошук такого способу є третім етапом процесу розв’язування задачі. Коли спосіб розв’язання задачі знайдено, його потрібно здійснити, — це буде четвертий етап процесу розв’язування задачі — етап здійснення (викладу) розв’язання.

 

Після того як розв’язування здійснено і викладено (письмово чи усно), необхідно переконатися, що розв’язання правильне, що воно відповідає всім вимогам задачі. Для цього здійснюють перевірку розв’язання, що складає п’ятий етап процесу розв’язування задачі.

 

Під час розв’язування багатьох задач, окрім перевірки, необхідно ще провести дослідження задачі, тобто встановити, за яких умов задача має розв’язання і притому скільки різних розв’язків у кожному окремому випадку; за яких умов задача взагалі не має розв’язків тощо. Усе це складає шостий етап процесу розв’язування задачі.

 

Переконавшись у правильності розв’язання і, якщо потрібно, провівши дослідження задачі, необхідно чітко сформулювати відповідь, — це сьомий етап процесу розв’язування задачі. Іноді в навчальних і пізнавальних цілях доречно проаналізувати виконане розв’язання, зокрема визначити, чи немає іншого, більш раціонального способу, чи можна задачу узагальнити, які висновки можна зробити із цього розв’язання тощо. Усе це складає восьмий (необов’язковий) етап процесу розв’язування задачі.

 

(Схему розв’язання задачі і основні правила розв’язання стандартних задач див. на кольоровій вкладці.)

 

Література

1. Балл Г. А. Теория учебных задач. — М. : Педагогика, 1990.

2. Гурова Л. Л. Психологический анализ решения задач. — Воронеж: Воронежский университет, 1976.

3. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. — М. : Просвещение, 1977.

4. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. — М. : Просвещение, 1984.

5. Стефанова Л. Ф., Подходова Н. С., Орлов В. В. и др. Методика и технология обучения математике. — М. : Дрофа, 2005.

6. Нешков К. И., Семушкин А. Д. Функции задач в обучении. — Математика в школе. — 1971. — № 3. — С. 4 —7.

7. Славская К. А. Мысль в действии. — М. :  Политиздат, 1968.

Dounload PDF

Відгуки читачів