Геометрическое изображение и исследование свойств рядов

Ведущая рубрики А. А. Агафонова, г. Харьков


Статья под таким названием вышла в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» № 9 за 1886 год.
 
Автор статьи Алексей Львович Корольков — профессор физики и электротехники в Михайловской артиллерийской академии, родился в 1859 году. Получал образование в Михайловском артиллерийском училище, Артиллерийской академии. Окончил политехникум в Цюрихе. Был воспитателем в К Киевском кадетском корпусе, преподавателем математики и физики во 2-ом кадетском корпусе. Один из учебников, написанных А. Л Л. К Корольковым совместно с П. Матюшенко, — «Начальный учебник физики и химии», был издан в К Киеве и Санкт-Петербурге с 1890 по 1905 год восемь (!) раз.
 
Надеемся, что эта статья будет полезна нашим читателям не только с познавательной, но и с практической точки зрения.
 
 
1. Построение членов геометрической прогрессии
 
Пусть дана геометрическая убывающая прогрессия
 
b1, b2, b3,…, bn,…, (1)
 
знаменатель которой равен q.
 
Отложим на произвольной прямой отрезок AB, изображающий первый член прогрессии (рис. 1).
 
Из точки B под произвольным углом проведем отрезок BC произвольной длины. Через точку C проведем прямую CD, параллельную AB, на которой отложим отрезок CD, равный b2, то есть, CD=qAB. Через точки A и C и через точки B и D проведем прямые до их пересечения в точке O. (Эти прямые не пересекутся только в том случае, когда q>1, то есть, когда прогрессия возрастающая.)
 
 
Если теперь проведем через точку D прямую DE, параллельную BC, затем через точку E прямую EF, параллельную CD, то не трудно заметить, что отрезок EF изобразит третий член прогрессии — b3. Действительно, из подобия треугольников ABC и CDE имеем:
 
BC/DE=AB/CD=1/q,
 
а из подобия треугольников BCD и DEF:
 
CD/EF=BC/DE=1/q,
 
откуда
 
EF=qCD=b3.
 
Продолжая такое построение дальше, получим: GH=b4, KL=b5 и т. д. Таким образом, система отрезков AB, CD, EF, GH,…, проведенных в треугольнике ABO параллельно основанию AB, изобразит члены убывающей прогрессии (1).
 
 
2. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
 
При таком геометрическом изображении сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, очевидно, будет представлена длиной отрезка AW, то есть длиной отрезка, который является продолжением прямой AB до точки W пересечения с прямой OW, проведенной параллельно BC через точку O.
 
В этом легко убедиться, продолжая систему параллельных прямых ED, GF, KH,… до пересечения с AW и учитывая, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными прямыми, равны. Таким образом,
 
BM=CD, MN=EF, NP=GH
 
и т. д., следовательно, предел суммы всех членов бесконечной прогрессии будет изображен длиной отрезка AW.
 
Несложно длину отрезка AW выразить алгебраически. Продолжим отрезок CD до пересечения с OW в точке T. Если всю сумму AW обозначить через S, то длина отрезка CT, равная длине отрезка BW, будет равна Sb−1. Из подобия треугольников AWO и CTO имеем:
 
AW/CT=AO/CO,
но
 
AO/CO=AB/CD=1/q,
 
следовательно,
 
S/Sb1=1/q,
 
откуда получим известную формулу для суммы членов бесконечно убывающей прогрессии:
 
S=b1/1-q.
 
В том случае, когда знаменатель прогрессии является отрицательным числом (q<0), и сумма прогрессии S есть разность суммы ее положительных членов и суммы отрицательных, можно для геометрического изображения этой разности откладывать положительные и отрицательные члены по различным направлениям. Или, придерживаясь прежнего приема построения, найти, как показано на рисунке 2, сумму положительных, т. е. нечетных членов прогрессии, если ее первый член положительный, — это будет длина отрезка AW1, затем точно также на продолжении CD найти сумму отрицательных, т. е. четных членов, которая будет изображена длиной отрезка CW2, и вычесть из первой суммы вторую.
 
В этом случае вопрос, очевидно, сводится к проведению прямой CW, параллельной прямой BE, и искомая сумма будет изображена длиной отрезка AW.
 
 
 
 
3. Сумма членов конечной геометрической прогрессии
 
Сумма членов конечной геометрической прогрессии b1, b2, b3,…, bn может быть найдена вычитанием из суммы бесконечной прогрессии, первый член которой равен b1,суммы другой бесконечной прогрессии, первый член которой следует за bn и равен bn+1.
 
Обозначив искомую сумму через S, сумму первой бесконечной прогрессии — через S1, сумму второй бесконечной прогрессии — через Sn+1, будем иметь:
 
S=S1-Sn+1.
 
Алгебраически это приводит нас к формуле
 
S=(b1/1-q)-(bn+1/1-q)=(b1/1-q)-(b1qn/1-q),
 
то есть
 
S=b1*1-qn/1-q.
 
 
Геометрически это дает возможность на основании приведенного построения найти сумму S конечного числа членов геометрической прогрессии.
 
 
***
 
Этот способ применим к различным рядам, и может служить для их наглядного изображения и изучения. В простейшем случае геометрической убывающей прогрессии линии, соединяющие точки A, C, E, … и B, D, F,… (рис. 1), оказались прямыми, но вообще, когда закон изменения членов ряда более сложный, эти линии будут кривыми. В таких случаях задача изучения рядов этим методом сводится к отысканию для каждого ряда такой кривой, хорды которой, построенные по вышеизложенному правилу, изображали бы члены ряда.
 
 
Примечание редакции журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики»
 
Со своей стороны мы рекомендуем ввести изложенный в статье прием наглядного изображения изменения членов кратных прогрессий в курс преподавания. Для применения этого приема на уроке потребуется совсем немного времени, зато ученики поймут, почему кратную прогрессию называют геометрической (об этом в учебниках алгебры чаще всего умалчивается) и получат более полное представление о бесконечно убывающих рядах.
Dounload PDF

Відгуки читачів