Задачі на переливання

Л. І. Глущенко, с. Петрівське, Петрівський р-н, Кіровоградська обл.


Однією з найбільш відомих задач на переливання є задача Симеона Дені Пуассона (1781–1840), видатного французького математика і фізика. Коли Пуассон був юнаком і коливався у виборі життєвого шляху, приятель показав йому тексти декількох задач, з якими не міг впоратися сам. Пуассон менше ніж за годину розв’язав усі задачі. Цей випадок вплинув на обрання професії Пуассона. «Ця задача визначила мою долю, — писав Пуассон згодом. Я вирішив, що обов’язково буду математиком.»

 

Задачі на переливання традиційно зустрічаються на олімпіадах з математики різного рівня. Суть цих задач така: маючи кілька посудин різного об’єму, одна з яких наповнена рідиною, потрібно розділити рідину в якому-небудь відношенні або відлити яку-небудь її частину за допомогою інших посудин за найменшу кількість переливань. В задачах на переливання потрібно вказати послідовність дій, внаслідок яких здійснюється потрібне переливання і виконані всі умови задачі.

 

Найпростіший спосіб розв’язування задач на переливання полягає в переборі можливих варіантів. Зрозуміло, що такий спосіб не зовсім вдалий, оскільки в цьому випадку складно виділити який-небудь загальний підхід до розв’язування інших подібних задач. Більш системний підхід до розв’язування задач на переливання полягає у використанні певної послідовності дій.

Варто пам’ятати, що в задачах на переливання дозволені такі операції:

- заповнення рідиною однієї з посудин вщерть;

- переливання рідини в іншу посудину або виливання рідини.

 

Розв’язуючи задачі на переливання, доцільно враховувати такі зауваження:

- дозволяється наливати в посудину рівно стільки рідини, скільки в неї поміститься, щоб посудина була заповнена вщерть;

- дозволяється переливати всю рідину з однієї посудини в іншу, якщо вся рідина поміщається в цій посудині;

- дозволяється відливати з однієї посудини в іншу стільки рідини, скільки необхідно, щоб друга посудина була наповнена вщерть.

 

Кожну задачу на переливання можна розв’язувати двома способами:

1) почати переливання з більшої посудини;

2) почати переливання з меншої посудини.

 

Який зі способів є більш раціональним (тобто яким способом ми найшвидше отримаємо потрібну кількість рідини) залежить від умови задачі.

 

Для розв’язування задач на переливання можна дотримуватись такої послідовності дій.

1. Перелити рідину з більшої посудини в посудину проміжної ємності.

2. Перелити рідину з посудини проміжної ємності в найменшу посудину.

3. Перелити рідину з найменшої посудини в найбільшу.

4. Повторювати дії 2–3 до тих пір, поки посудина проміжної ємності не стане порожньою.

5. Якщо посудина проміжної ємності спорожніла, то повторити дії 1–5 до тих пір, поки не буде виконана умова задачі.

Розв’язання задач на переливання зручно систематизувати у вигляді таблиць.

 

Задача 1

Посудина ємністю 800 мл наповнена молоком. Решта посудин ємністю 200 мл, 400 мл і 600 мл — порожні. Користуючись тільки цими посудинами, розлийте молоко так, щоб в кожній з них було по 200 мл молока.

 

Розв’язання

200 мл

0

200

0

200

0

200

400 мл

0

0

200

200

200

200

600 мл

0

0

0

0

200

200

800 мл

800

600

600

400

400

200

Зауваження. Існують й інші способи розв’язування цієї задачі.

 

Задача 2

Як за допомогою 5-літрового і 9-літрового відер набрати з колодязя 3 літри води? Зайву воду можна виливати.

 

Розв’язання

Перший спосіб. Здійснюємо переливання з більшого відра в менше.

5 л

0

5

0

4

4

5

0

5

9 л

9

4

4

0

9

8

8

3

 

Другий спосіб. Здійснюємо переливання з меншого відра в більше.

5 л

5

0

5

1

1

0

5

0

5

2

2

0

5

0

5

3

9 л

0

5

5

9

0

1

1

6

6

9

0

2

2

7

7

9

Зауваження. Перший спосіб більш раціональний.

 

Задача 3

Як за допомогою 5-літрового бідона і 3-літрової банки набрати з річки 4 літри води? Зайву воду можна виливати.

 

Розв’язання

Перший спосіб. Здійснюємо переливання з більшої посудини в меншу.

3 л

0

3

0

2

2

3

5 л

5

2

2

0

5

4

 

Другий спосіб. Здійснюємо переливання з меншої посудини в більшу.

3 л

3

0

3

1

1

0

3

0

5 л

0

3

3

5

0

1

1

4

 

Задача 4

Як за допомогою 7-літрової і 11-літрової банок набрати з водопровідного крану 2 літри води? Зайву воду можна виливати.

 

Розв’язання

7 л

0

7

0

4

7

0

7

0

1

7

0

5

7

0

7

11 л

11

4

4

11

8

8

1

1

11

5

5

11

9

9

2

 

Задача 5

Як з молочної цистерни набрати:

а) 7 л молока, користуючись 5-літровим і 8-літровим бідонами;

б) 8 л молока, користуючись 10-літровим і 7-літровим бідонами?

Молоко можна виливати назад у цистерну.

 

Розв’язання

а)

5 л

0

5

5

0

5

2

2

0

5

0

8 л

8

3

0

5

5

8

0

2

2

7

 

б)

10 л

10

3

0

7

7

10

0

4

4

10

0

1

8

7 л

0

7

7

0

7

4

4

0

7

1

1

7

0

 

Задача 6

Найбільша з посудин ємністю 9 л, 5 л і 3 л наповнена водою, а дві інших — порожні. Скориставшись порожніми посудинами, відмірте 1 л води.

 

Розв’язання

9 л

9

4

4

6

1

5 л

0

5

2

0

5

3 л

0

0

3

3

3

 

Задача 7

Найбільша з посудин ємністю 13 л, 9 л і 4 л наповнена водою, а дві інших — порожні. Скориставшись порожніми посудинами, відмірте 7 л води.

 

Розв’язання

13 л

13

9

9

5

5

1

1

10

6

6

4 л

0

4

0

4

0

4

3

3

4

0

9 л

0

0

4

4

8

8

9

0

3

7

 

Задача 8

Найбільша з посудин ємністю 20 л, 13 л і 7 л наповнена водою, а дві інших — порожні. Скориставшись порожніми посудинами, відмірте 5 л води.

 

Розв’язання

20 л

20

7

7

14

14

1

1

8

8

7 л

0

0

7

0

6

6

7

0

7

13 л

0

13

6

6

0

13

12

12

5

 

Задача 9

Найбільша з посудин ємністю 12 л, 9 л і 5 л наповнена водою, а дві інших — порожні. Скориставшись порожніми посудинами, відмірте 6 л води. Доведіть, що користуючись 9-літровою і 5-літровою посудинами, з 12-літрової посудини можна відміряти 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 і 11 літрів води.

 

Розв’язання

Перший спосіб

12 л

12

3

3

8

8

0

0

5

5

10

10

1

1

9 л

0

9

4

4

0

8

7

7

2

2

0

9

6

5 л

0

0

5

0

4

4

5

0

5

0

2

2

5

 

Другий спосіб

12 л

12

7

7

2

2

11

11

6

9 л

0

0

5

5

9

0

1

1

5 л

0

5

0

5

1

1

0

5

За результатами переливань робимо висновок, що можна відміряти 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 і 11 літрів води.

 

Задача 10

У бочці міститься не менше ніж 13 відер бензину. Як виділити з неї 8 відер бензину, скориставшись 9-відерною та 5-відерною ємностями?

 

Розв’язання

Бочка

Не менше

ніж 4

Не менше ніж 4

Не менше ніж 9

Не менше ніж 9

 

 

9 відер

9

4

4

0

9

8

5 відер

0

5

0

4

4

5

 

Задача 11

10-літровий бідон наповнений молоком. Як за допомогою 7-літрового і 3-літрового порожніх бідонів розділити це молоко навпіл?

 

Розв’язання

10

10

3

3

6

6

9

2

2

5

7

0

7

4

4

1

1

7

5

5

3

0

0

3

0

3

0

1

3

0

 

Задача 12

Розділіть порівну 12 л квасу, що знаходиться в 12-літровому барилі, скориставшись для цього порожніми 8-літровим відром і 3-літровою каструлею.

 

Розв’язання

12 л

12

9

9

6

6

8 л

0

0

3

3

6

3 л

0

3

0

3

0

 

Задача 13 (Задача Пуассона)

Як розділити навпіл 12 відер хлібного квасу, налитого в 12-відерну бочку, користуючись 8-відерною і 5-відерною порожніми бочками?

 

Розв’язання

12 відер

12

4

4

9

9

1

1

6

відер

0

8

3

3

0

8

6

6

відер

0

0

5

0

3

3

5

0

 

Задача 14

Як розділити навпіл 8 л молока, налитого у 8-літровий бідон, користуючись 5-літровою і 3-літровою порожніми банками?

 

Розв’язання

8 л

8

3

3

6

6

1

1

4

5 л

0

5

2

2

0

5

4

4

3 л

0

0

3

0

2

2

3

0

 

Задача 15

Як розділити на три рівні частини 24 л меду, налитого у 24-літровий бідон, користуючись 13-літровом, 11-літровом і 5-літровом порожніми бідонами?

 

Розв’язання

24 л

24

8

8

8

8

8

8

13 л

0

0

1

6

13

8

8

11 л

0

11

10

10

3

3

8

5 л

0

5

5

0

0

5

0

 

Задача 16

Троє хлопців прийшли до молочника за молоком з бідонами ємністю 3 л, 4 л і 5 л й попросили налити кожному по 2 л молока. У молочника є дві повні фляги молока ємністю 50 л кожна. Трохи поміркувавши, молочник упорався з цим завданням. Як він це зробив?

 

Розв’язання

50 л

50

47

47

47

47

49

49

49

49

50

50 л

50

46

46

46

46

46

46

44

44

44

5 л

0

0

3

5

2

0

3

5

2

2

4 л

0

4

4

2

2

2

2

2

2

2

3 л

0

3

0

0

3

3

0

0

3

2

 

Задача 17

У трьох бочках налито 11 л, 7 л і 6 л води. За три рази потрібно перелити воду так, щоб у кожній бочці було по 8 л води. Виливати можна будь-яку кількість води, а доливати стільки, скільки є в бочці.

 

Розв’язання

Було

Перше переливання

Друге переливання

Третє переливання

Перша бочка

11 л

–7

4

 

4

+4

8

Друга бочка

7 л

+7

14

–6

8

 

8

Третя бочка

6 л

 

6

+6

12

–4

8

 

Задача 18

Найменша з посудин ємністю 4 л, 5 л і 6 л наповнена сиропом, а решта — порожні. Як, використовуючи ці посудини, можна отримати 8 л суміші, яка містить однакову кількість води і сиропу, і яка розлита порівну в дві з цих посудин? Воду можна набирати з водопровідного крану; зайву воду можна виливати.

 

Розв’язання

4-літрова посудина

5-літрова посудина

6-літрова посудина

4 л сиропу

0 л

0 л

0 л

4 л сиропу

0 л

4 л води

4 л сиропу

0 л

0 л

4 л сиропу

4 л води

4 л води

4 л сиропу

4 л води

2 л води

4 л сиропу

6 л води

2 л води

4 л сиропу

0 л

2 л води, 2 л сиропу

2 л сиропу

0 л

2 л води, 2 л сиропу

0 л

2 л сиропу

0 л

2 л води, 2 л сиропу

2 л сиропу

2 л сиропу

2 л води, 2 л сиропу

0 л

2 л сиропу, 2 л води

2 л сиропу, 2 л води

0 л

 

Література

1. Сурядна О. А. Задачі на переливання та зважування. — Донецьк : ДонНУ, 2001.

2. Геращенко В. О. Логіка. Збірник задач. — Х. : Торсінг плюс, 2011.

3. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Математика. Підручник для 6 класу. — К. : Ґенеза, 2006.

4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б, .Якір М. С. Математика. Підручник для 6 класу. — Х. : Гімназія, 2006.

5. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Алгебра. Підручник для 7 класу. — К. : Зодіак – ЕКО, 2007.

Dounload PDF

Відгуки читачів