Комбінаторні задачі. Урок математики. 5 клас

Т. О. Терехова, Підгородненський НВК № 1, Дніпропетровський р-н, Дніпропетровська обл.


Тема. Комбінаторні задачі
 
Цілі: формувати вміння розв’язувати найпростіші комбінаторні задачі методом перебору можливих варіантів; розвивати комбінаторне мислення; виховувати стохастичну культуру.
 
Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь.
 
Обладнання: набір креслярського приладдя, таблиці, інструктивні картки.
 
Методи: пояснювально-ілюстративний з елементами гри; самоаналізу та колективної творчості.
 
 
Хід уроку
 
І. Організаційний етап
 
 
ІІ. Повідомлмлення теми уроку
 
 
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності
 
 
— У житті часто доводиться розв’язувати задачі, що мають декілька різних варіантів розв’язання, і щоб зробити правильний вибір, важливо жоден з них не пропустити. Для цього треба вміти перебирати всі можливі варіанти або комбінації і порахувати їх кількість.
 
Задачі, які передбачають перебір усіх можливих варіантів під час їх розв’язування, називають комбінаторними, а розділ математики, у якому розв’язують такі задачі, — комбінаторикою.
 
Комбінаторні задачі люди розв’язували ще в глибоку давнину. У стародавньому Китаї захоплювались складанням магічних квадратів, у яких числа розташовували так, що їх сума по всім горизонталям і головним діагоналям була однаковою.
 
11 1 12
9 8 7
4 15 5
 
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
 
Комбінаторні задачі виникли у зв’язку з такими іграми, як шашки, шахи, доміно, карти тощо.
 
Тепер комбінаторику використовують в усіх галузях науки і техніки: біології, хімії, механіці та ін.
 
 
ІV. Формумування нових знань
 
— Розв’яжемо задачі за допомогою складання дерева можливих варіантів, так званого графа.
 
Розпочнемо гру, де задачі розв’язуватимуть «Конструктори» та «Наукові діячі».
 
Задача 1. Запишіть усі трицифрові числа цифрами 1, 2, 3 без повторень. Скільки таких чисел можна записати?
 
Розв’язання
Побудуємо граф (рис. 1).
 
Коментар
1) На партах лежать картки, цифри на них відповідають номеру ряду, на якому сидять учні.
2) З кожного ряду виходять учні по черзі з цифрами номерів свого ряду: 1; 2; 3.
3) Потім до кожного учня виходять два учня з цифрами, відмінними від попередньої: 2, 3; 1, 3; 1, 2.
4) Потім до кожної пари виходять по одному учню з цифрами, відмінними від попередньої, а саме: 3, 2; 3, 1; 2, 1.
 
— Отже, ми побудували граф. Тепер запишемо числа, що при цьому утворилися:
123; 132; 213; 231; 312; 321.
Можна скласти 6 чисел.
 
Відповідь. 6 чисел.
 
 
V. Первинне застосусування знань
 
— Зараз ви самостійно побудуєте граф.
 
Задача 2. Скільки двоцифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 1, 2, 3?
 
Цифри можуть повторюватись.
 
Утворилися такі числа: 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33.
 
Відповідь. 9 двоцифрових чисел.
 
— Молодці, ви гарно впоралися із завданням,
будуючи граф (рис. 2).
 
— Зараз об’єднайтеся у дві команди «Наукові діячі» та «Конструктори» та розв’яжіть задачу.
 
Задача 3. Восьмеро учнів повинні взяти участь у турнірі з шашок так, щоб кожен зіграв
з кожним одну партію. Скільки всього партій буде зіграно?
 
— «Наукові діячі» розв’яжуть задачу за допомогою математичних суджень, а конструктори — за допомогою графа.
 
«Наукові діячі» стверджують, що:
1) перший учень може зіграти 7 партій;
2) другий може зіграти 6 партій (відкидаємо першого і другого гравців);
3) третій — 5 партій (без першого, другого, третього);
4) четвертий — 4 партії (без першого, другого, третього, четвертого);
5) п’ятий — 3 партії (без першого, другого, третього, четвертого, п’ятого);
6) шостий — 2 партії (без першого, другого, третього, четвертого, п’ятого, шостого);
7) сьомий — 1 партію (без першого, другого, третього, четвертого, п’ятого, шостого, сьомого).
 
Усього зіграють
7+6+5+4+3+2+1=28 партій.
 
«Конструктори» подали розв’язання у вигляді графа (рис. 3).
 
 
Отже, маємо
1+2+3+4+5+6+7=28 партій.
 
Відповідь. 28 партій.
 
 
VI. Засвоєння вмінь та навичок
 
Учні самостійно розв’язують задачі, потім обговорюють їх розв’язання.
 
Задача 1 (№ 652). Віслюк Іа має три надувні кульки: червону, зелену та жовту. Він хоче подарувати по одній кульці своїм друзям: Вінні-Пуху, П’ятачку і Кролику. Скільки варіантів зробити подарунки соїм друзям є у віслюка Іа?
 
Задача 2 (№ 655). Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри: 1) 3, 4 і 6; 2) 4, 7 і 0. (Цифри в числі не можуть повторюватися.) 
 
Задача 3 (№ 658). Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку зростання?
 
 
VІI. Підсумки уроку
 
— Сьогодні на уроці ми ознайомилися з комбінаторними задачами та деякими способами їх розв’язання.
 
  • Бліцопитування
1. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5 і 7, якщо цифри в числі не можуть повторюватися?
 
2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5 і 7, якщо цифри в числі можуть повторюватися?
 
 
VІІI. Домашнє завдання
 
1. Вивчити § 3 п. 24.
2. Розв’язати задачі: № 653, 656, 659.
 
1 (№ 653). Скільки двоцифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати за допомогою цифр 0, 1 і 2?
 
2 (№ 656). Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр: 1) 1 і 2; 2) 0 і 1? (Цифри в числі можуть повторюватися.)
 
3 (№ 659). Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку спадання?
 
3. Для сильних учнів.
1) (№ 670). У загоні космонавтів є три пілоти та два інженери. Скільки існує способів скласти екіпаж з одного пілота й одного інженера?
2) Заповнити магічний квадрат:
      
  5  
  4 3
 
3) Чотири подруги купили чотири білети в кінотеатр. Скількома різними способами вони можуть сісти на свої місця в глядацькому залі?
 
 
Література
Мерзляк А. Г. Математика : підруч. для 5 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2013.
Dounload PDF

Відгуки читачів

  • анонімний анонім

    11 лютого 2017

    може бути. але б хотілося більше задач про Україну