Софізми. Їх місце в розвитку математичного мислення учнів

В. Й. Анпілогова, м. Донецьк


У розв’язанні проблеми розвитку критичності математичного мислення учнів одним з ефективних засобів є використання софізмів у навчанні.

 

Історія математики містить багато несподіваних і цікавих софізмів. Часто-густо саме софізми ставали поштовхом до нових відкриттів, з яких, у свою чергу, з’являлися нові софізми. 

 

Софізми — хибні результати, отримані за допомогою міркувань, які тільки здаються правильними, але обов’язково містять ту чи іншу помилку. 

 

Практика навчання математики свідчить, що пошук помилок у софізмі, чітке розуміння причин їх виникнення сприяють усвідомленому розумінню математики. Виявлення та аналіз помилки, укладеної в софізм, найчастіше виявляються більш повчальними, ніж просто розбір розв’язань «безпомилкових» завдань. Можна скільки завгодно пояснювати, що ділення на нуль неприпустиме або що квадратний корінь з повного квадрата числа або виразу дорівнює абсолютній величині цього числа (виразу), але учень щоразу припускається однієї й тієї ж помилки. Водночас ефективне демонстрування «доведень» очевидно неправильного результату, у чому і полягає сенс софізму, показує те, до якої нісенітниці призводить нехтування тим чи іншим математичним правилом. Подальший пошук і аналіз помилки, що призвела до нісенітниці, дозволяють на емоційному рівні зрозуміти і «закріпити» те чи інше математичне правило або твердження.

 

Софізм (з грецької σ?φισμα— майстерність, уміння, хитра вигадка, мудрість) — хибне висловлювання, яке за поверхневого розгляду здається правильним.

 

Математичні софізми — це хибне математичне твердження з прихованою помилкою в математичних міркуваннях. 

 

Розв’язати софізм —означаєзнайти помилку в міркуваннях, за допомогою якої була створена зовнішня видимість правильності доведення.

 

Загалом математичні софізми будуються на некоректному слововживанні, на неточності формулювань, дуже часто на неправильному застосуванні теорем, на прихованому виконанні неможливих дій, на незаконних узагальненнях, особливо під час переходу від скінченної кількості об’єктів до нескінченної, на маскуванні помилкових міркувань.Розв’язування софізмів сприяє розвитку всіх компонентів математичної підготовки, а саме:

1) фактичних знань і вмінь, передбачених програмою навчання;

2) розумових операцій і методів діяльності; 

3) математичного стилю мислення; 

4) раціональних способів навчально-пізнавальної діяльності.

 

Софізми в процесі навчання можуть досягати такої мети:

- стимулювати інтерес до вивчення математики; 

- сприяти розвитку інтелекту учнів, моральних якостей особистості;

- сприяти засвоєнню теоретичного матеріалу (якщо тематика софізму відповідає темі, що вивчається в шкільному курсі математики).

 

Отже, розв’язування математичних софізмів є ефективним засобом розвитку мислення.Виходячи з дидактичних цілей та етапу засвоєння матеріалу, софізми добирають з відповідним змістом і структурою. Математичний софізм тим більше хитромудрий та цікавий, чим більша помилка в ньому прихована.

 

Наведемо приклади математичних софізмів.

 

Приклади математичних софізмів

 

1. Логарифм різниці дорівнює різниці логарифмів.

 
 

 

 

дістанемо 3 > 7.

 

Помилка прихована в тому, що під час ділення обох частин нерівності на  lg (1/3) < 0

не було змінено знак нерівності на протилежний.

 

Отже, розв’язуючи математичний софізм, учень активізує мислення на знаходженні помилки, оцінює свої дії з боку, прогнозує можливі результати помилок, критикує запропоновані доведення софізмів. Спочатку застосування софізмів на уроках математикиздійснюється за допомогою системи навідних запитань учителя, евристичної бесіди, що спонукає до таких міркувань. Якщо софізми використовувати систематично й цілеспрямовано на уроках математики, то за постійного аналізу помилкових міркувань в учнів розвивається критичне мислення. Тобто використання софізмів сприяє розвитку критичного мислення.

 

Одним із важливих питань використання софізмів є визначення місця софізмів у системі уроків математики. Можна розглядати їх у зв’язку з вивченням поточного матеріалу, і тоді софізм є важливим педагогічним моментом для посилення уваги учнів до окремих питань шкільного курсу математики. Також можна пропонувати софізми на етапі узагальнення й систематизації вивченого матеріалу для визначення рівня усвідомлення засвоєного матеріалу. Щодо використання софізмів на конкретному уроці, то вчитель самостійно визначає, на якому етапі уроку він розглядатиме той чи інший софізм. Учителеві бажано складати софізми з урахуванням психологічних закономірностей засвоєння і запам’ятовування матеріалу. Зокрема, софізм може містити доведення помилкових тверджень, неточні формулювання означень, неповні формулювання, помилкові висновки, неправильні обернені теореми.

 

Можна використовувати завдання з обманом або провокацією. Під «обманними» розуміють завдання, умова яких або суперечлива, тобто розв’язання неможливе за конкретних даних, або вони мають який-небудь недолік, що зводить задачу до абсурдної за змістом. У такий спосіб дістанемо деякий софізм. Після пропонування такого завдання можливі два варіанти подій. Учні помітять підступ і не розв’язуватимуть задачу, тоді вчитель продемонструє, до чого б вони дійшли, якби все ж таки спробували її розв’язати. У цьому випадку в учнів виникнуть позитивні емоції з приводу того, що вони вчасно помітили приховану помилку і не «попалися в пастку». Але учні можуть нічого не помітити, і тоді вчитель підводить їх до безглуздого результату, допомагає з’ясувати причину такого результату. У цьому випадку в школярів виникає почуття невдоволення собою через неуважність, через те, що вони потрапили в пастку, причому заздалегідь підготовлену. Але в будь-якому випадку емоційне забарвлення ситуації сприяє усвідомленню значущості, важливості поданого матеріалу, підвищенню інтересу учнів до предмета, що у свою чергу впливає на свідомість і міцність засвоєння навчального матеріалу.

 

Проаналізувавши відповідну методичну літературу і збірники, що містять софізми, можна зробити висновок, що, по-перше, з усіх софізмів далеко не кожен можна використовувати на уроці, а по-друге, у літературі немає суворого поділу помилкових міркувань на ті, які можна використовувати в позакласній роботі, і ті, які є доречними на уроці. Тому бажано систематизувати софізми за класами відповідно до досліджуваного матеріалу. Вважаю, що така система могла б запобігати безсистемності у використанні софізмів.

 

Література 

1. Брадис В. М. Ошибки в математических рассуждениях. —М. : Просвещение, 1967.

2. Гайдук Ю. М. Математические софизмы / Математика в школе. —№ 6. —1952. 

3. Гарднер М. Математические головоломки и игры. —М. : Мир, 1971.

4. Груденов Я. И. Усовершенствование методики роботыучителя математики. —М. : Просвещение, 1990. 

5. Дьюї Джон. Психология и педагогика мышления. —М. : Лабиринт, 1999.

Dounload PDF

Відгуки читачів