Понятие функции в средней школе

Ведущая рубрики А. А. Агафонова, г. Харьков


Понятие функции является одним из основополагающих понятий математики вообще и курса школьной математики в частности. Многие современные авторы учебников размышляют, иногда даже спорят о том, как ввести это понятие на научном и в то же время доступном для школьников уровне. Изучая литературу прошлых лет, а точнее столетий, я пришла к выводу, что этим вопросом задавались ученые и 100 лет назад. Об этом, например, свидетельствует сообщение Сергея Натановича Бернштейна на 2-ом съезде преподавателей математики «Понятие функции в средней школе», опубликованное в журнале «Математическое образование», № 4 за 1914 год.
 
С. Н. Бернштейн (1880–1968) — советский математик, член АН УССР, АН СССР, профессор Харьковского университета, основатель и директор Украинского института математических наук в Харькове.
 
В начале своего выступления С. Н. Бернштейн говорит: «Я хочу ограничиться только несколькими замечаниями теоретического характера о различных определениях функции и о связи и взаимоотношении их между собой. Разумеется, я не думаю, что все вопросы, которых я намерен коснуться в своей беседе, могут быть разъяснены в средней школе, но мне кажется, что всякому преподавателю необходимо остановить на них свое внимание для того, по крайней мере, чтобы избегать поводов внесения излишней путаницы в умы учеников».
 
 
Оперативное, табличное и графическое определение функции
 
В основании понятия функции (для простоты ограничимся однозначной функцией) лежат три логически разнородных определения, которые для краткости можно назвать оперативным, табличным и графическим определениями функции.
 
Первое (оперативное) — это определение Эйлера, в силу которого функция считается заданной, если имеется математическое выражение, указывающее определенный конечный или сходящийся бесконечный ряд арифметических операций, которые нужно произвести над каждым значением переменной, чтобы вычислить соответствующее значение функции.
 
Табличное определение — это известное определение Дирихле, по которому y называется функцией от x, если для каждого данного значения x y получает определенное значение.
 
Графическое определение отождествляет функцию с произвольно начерченной линией.
 
Все эти способы определения функции находят место в средней школе. Оперативное определение может быть дано в самом начале изучения алгебры и, в сущности, только оно вполне осмысливает и уясняет значение введения букв вместо чисел в арифметике. 
 
Тут же естественно дать табличное определение функции, предложив ученикам, подставляя в данное алгебраическое выражение различные числовые значения переменной, составить таблицу соответствующих значений функции.
 
Говоря о месте введения графического определения, нужно заметить, что вполне удовлетворительное разъяснение того, что, например, закон пропорциональности выражается прямой линией, предполагает некоторое предварительное знание геометрии. При отсутствии пропедевтического курса геометрии, применение графического метода для решения арифметических задач может принести больше вреда, чем пользы.
 
Как бы то ни было, но ученику V–VI класса уже должны быть известны все три определения функции, причем одновременно с определением чисел как пределов. Естественно дополнить оперативное определение функции указанием того, что в число вычислительных операций для получения значения функции следует включить и переход к пределу, то есть рассмотрение бесконечных сходящихся рядов.
 
Таким образом, если мы согласимся, что в средней школе необходимо освещение понятия функции со всех трех точек зрения, а с этим вряд ли можно спорить, то перед преподавателем стоит неотложная задача разобраться во взаимоотношении между приведенными определениями.
 
Могут ли графические функции быть выражены посредством оперативных?
 
Этот вопрос возник более 200 лет назад и глубоко волнует многих математиков и философов.
 
Действительно, вопрос о том, могут ли все разнообразные графические (или эмпирические) функции быть выражены посредством математических оперативных функций, имеет большое теоретико-познавательное значение. Если бы ответ на него был отрицательным, нужно было бы отказаться от мысли подчинить математическому анализу всю область человеческих знаний. Но благодаря тому, что ответ оказывается положительным, мы можем быть уверены, что математическая символика достаточно богата, чтобы изобразить все многообразие функциональных соотношений, которые могут встретиться в природе. На этот вопрос дает ответ теорема Вейерштрасса.
 
Теорема Вейерштрасса. Всякая непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва на некотором промежутке функция может быть выражена в виде сходящегося ряда многочленов
так, что для всякого значения переменной можно получить значение функции со сколь угодно большой точностью, если взять многочлен,
составляющий сумму достаточно большого числа членов ряда.
 
То, что мы называем графической функцией, можно всегда рассматривать как несовершенное осуществление одной или нескольких непрерывных функций. Действительно, значение переменной может быть дано с некоторой погрешностью, связанной с погрешностью измерительных приборов. И если бы неизмеримо малым изменениям аргумента соответствовали значительные изменения зависимой переменной, мы не могли бы говорить о функции.
 
Таким образом, те соотношения, которые мы называем экспериментальными функциями, всегда сводятся к непрерывным функциям, и на основании теоремы Вейерштрасса мы можем выразить их математической формулой. 
 
На этот важный результат полезно обратить внимание учеников старших классов, чтобы вселить в них сознание того, что математическая символика не только способна изобразить все наблюдаемые в природе количественные отношения, но что мир математический бесконечно богаче мира экспериментального и вследствие этого при математических выводах не следует слишком полагаться на наглядное представление.
 
Это не означает, что в математике нужно пренебрегать интуицией. Логическое доказательство достоверности истины является не более важным, чем нахождение тех интуитивных образов, которые делают истину правдоподобной. 
 
Заканчивая рассмотрение графической функции, делаем вывод, что она является несовершенным изображением непрерывной оперативной функции.
 
 
Взаимосвязь между табличным и оперативным определением функции
 
Рассмотрим взаимоотношение между табличным и оперативным определением функции. На практике табличное определение функции обыкновенно сводится к тому, что мы знаем ее значения для некоторого конечного числа значений аргумента. Если, как это иногда бывает в теории чисел или в статистике, функция по своей природе лишена смысла для других значений аргумента, то в таком случае не представляет труда дать более или менее сложное математическое выражение или интерполирующую функцию (интерполирующая функция — это функция, которая строится по значениям в некоторых точках — ред.), которая позволит с помощью вычислений получить все значения функции, указанные в таблице.
 
Понятно, что в случае, когда интерполируемая, то есть данная, функция имеет определенный смысл и для значений аргумента, не представленных в таблице, то для этих последних значений она не будет совпадать с данной. Это обстоятельство, то есть несовпадение интерполируемой и интерполирующей функций, вообще представится и тогда, когда мы будем бесконечно увеличивать число значений, данных на конечном отрезке, если только мы не наложим некоторое ограничение на природу данной функции.
 
Чтобы рассмотреть наиболее верный случай, допустим, что функция непрерывна. Ясно, что данные значения функции теперь будут не вполне произвольны, а именно: разность между ними будет стремиться к нулю вместе с разностью между значениями аргумента. Тогда в числе интерполируемых функций простейшей будет ломаная линия, вписанная в кривую, изображающую данную функцию. Не сложно доказать, что при бесконечном возрастании числа сторон ломаная линия будет иметь пределом кривую. Хотя всякая ломаная линия представляет собой не особенно сложную оперативную функцию и на практике прямолинейное интерполирование является самым удобным, но с теоретической точки зрения интересно рассмотреть вопрос об интерполировании при помощи многочленов. Несомненно, взяв многочлен достаточно высокой степени p и определяя его условием, чтобы он в (n+1точке совпадал с данной функцией, мы можем достигнуть того, чтобы разность между интерполирующим многочленом
 
и нашей функцией стремилась к нулю, когда p и (n+1) бесконечно возрастают.
 
Для того чтобы закончить замечания о табличных функциях, нужно отметить, что табличное определение теоретически несомненно более общее, чем оперативное. Действительно, знаменитый философ и математик Георг Кантор показал, что существуют такие функции, удовлетворяющие определению Дирихле, которые никоим образом не могут быть выражены оперативно.
 
С. Н. Бернштейн заключает свое выступление словами: «Итак, я полагаю, что на первый план следует выставить оперативное определение функции, и как его простейший, но очень частный пример, аналитическую функцию. Но, разумеется, оба другие определения также должны занять значительное место в средней школе, и именно потому, что понятие функции необходимо рассмотреть с трех точек зрения, я считал небесполезным высказать здесь некоторые соображения о взаимоотношениях между этими точками зрения».
Dounload PDF

Відгуки читачів