Практичні роботи в курсі математики. 6 клас

С. Б. Старостенко, м. Баштанка, Миколаївська обл.


Пракична робота № 1
 
Тема. Подільність натуральних чисел
 
Мета: розглянути основні етапи розвитку натуральних чисел; виділити цікаві види дивовижних натуральних чисел: прості, числа-близнюки, досконалі, дружні та інші; вчитися встановлювати їх властивості та закономірності.
 
Обладнання: картка із завданнями, ручка.
 
Хід роботи
 
1. Ознайомитись з історичним матеріалом, розміщеним у додатку.
2. Вивчити властивості дивовижних чисел, розв’язуючи вправи.
 
  • Прості числа
 
Задача 1. Складіть таблицю простих чисел до 200, використовуючи «решето Ератосфена».
 
1. Число 1 не є ні простим, ні складеним. Викресліть його.
2. Число 2 — це перше просте число.
3. Викресліть усі числа з таблиці, кратні 2.
4. Найближче не викреслене число 3 — це наступне просте число.
5. Викресліть усі числа з таблиці, кратні 3, при цьому виявиться, що деякі числа вже були викреслені раніше, як, наприклад, 6, 12 тощо.
6. Наступне найменше не викреслене число — це 5, воно є простим. Беремо число 5, а решту чисел, кратних 5, викреслюємо.
7. Повторіть цю процедуру декілька разів. Зрештою ви досягнете того, що невикреслені залишаться лише прості числа — вони немов просіялися крізь решето. Тому такий спосіб і дістав назву «решето Ератосфена».
 
 
Обророблення результатів
Прості числа, до 200:___________________________________________________
 
 
  • Числа близнюки
 
Задача 2. Виберіть з ряду простих чисел, у межах перших двох сотень, числа близнюки:
1) пари чисел; (наприклад, (3;5), (5;7) тощо)
2) трійки чисел;
3) четвірки чисел.
 
  • Дружні числа
Задача 3. Доведіть, що 220 і 284 — це пара дружніх чисел.
1. Випишіть усі дільники числа 220.
2. Знайдіть суму всіх дільників, крім останнього, що дорівнює самому числу.
3. Перевірте, чи дорівнює ця сума числу 284.
4. Випишіть усі дільники числа 284. Знайдіть суму всіх дільників, крім останнього, що дорівнює самому числу.
5. Перевірте, чи дорівнює ця сума числу 220.
 
  • Досконалі числа
Задача 4. Доведіть, що число 28 — досконале.
1. Випишіть усі дільники числа 28.
2. Знайдіть суму всіх дільників, крім останнього, що дорівнює самому числу.
3. Чи дорівнює вказана сума числу 28?
 
  • Загадкове число
Задача 5. У єгипетській піраміді на гробниці накреслено число 2520. Чому саме для цього числа випала «така честь»?
 
Вказівка. Одна з версій: це число ділиться на всі без винятку натуральні числа від 1 до 10. Перевірте це.
 
Аналіз експкспериментів та їх результатів
 
Проаналізуйте результати своєї роботи, усно відповівши на запитання.
1. Що цікавого ви дізналися на сьогоднішньому уроці?
2. Які вчені працювали над теорією чисел?
3. У чому полягає магія чисел?
 
Висновок
1. Практичне застосування теми.
2. Результати експериментів.
 
Додаток 1
 
Історична сторінка
 
Виникнення чисел у нашому житті не випадковість. Неможливо уявити собі спілкування без використання чисел. Історія чисел захоплива і загадкова. Людству вдалося встановити цілий ряд законів і закономірностей світу чисел, розгадати деякі таємниці і використовувати свої відкриття в повсякденному житті.
 
Кордемський Б. А. в книзі «Дивовижний світ чисел» писав: «Найдавніші за походженням числа — натуральні… Струмочки натуральних чисел, зливаючись, породжують безмежний океан дійсних і різного роду особливих спеціальних чисел».
 
Прості числа. Однією з найбільших загадок математики є розташування простих чисел у ряду натуральних чисел. Іноді два простих числа йдуть через одне (наприклад, 17 і 19, 29 і 31), а іноді поспіль йде мільйон складених чисел. Зараз учені знають досить багато про те, скільки простих чисел міститься серед N перших натуральних чисел. У цих підрахунках вельми корисним виявився метод, висхідний ще до давньогрецького вченого Ератосфена Киренського. Він жив у третьому столітті до нової ери в Олександрії (Eratosthenes, 276–194 р. до н. е.) і першим обчислив довжину екватора Землі, користуючись методами геометрії. Ератосфен був надзвичайно допитливою людиною. Прославився своїми роботами з математики, географії, філософії та літератури. Завідував Александрійською бібліотекою в Єгипті (однією з перших бібліотек у світі). У математиці Ератосфена цікавило питання про те, як знайти всі прості числа серед натуральних чисел від 1 до n. (Ератосфен уважав 1 простим числом. Зараз математики вважають 1 числом особливого виду, яке не належить ні до простих, ні до складених чисел.) Ератосфен винайшов системний метод визначення простих чисел шляхом відбору та відкидання чисел, що мають дільники. Цей метод згодом дістав назву «решето Ератосфена» і використовується до цих пір, однак для роботи з великими числами він незручний, оскільки потрібно занадто багато часу, щоб перевірити наявність у них дільників.
 
Числа-близнюки. Два простих числа, які відрізняються на 2, як 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19, дістали назву «близнюки». У натуральному ряду є навіть «трійня» — це числа 3, 5, 7. Скільки всього існує близнюків — сучасній науці невідомо.
 
Віддаляючись від нуля близнюків стає дедалі менше. Близнюки можуть скупчуватися, утворюючи трійки, четвірки вигляду (n-4, n-2, n+2, n+4), наприклад, (5,7,11,13). Як багато таких скупчень — теж поки невідомо.
 
Дружні числа. Дружні числа — це два натуральні числа, для яких сума всіх дільників першого числа (крім самого числа) дорівнює другому числу і сума всіх дільників другого числа (крім самого числа) дорівнює першому числу. За свідченням античного філософа Ямвлиха, великий Піфагор на запитання, кого вважати своїм другом, відповів: «Того, хто є моїм другим Я, як числа 220 і 284».
 
Історія дружніх чисел губиться в глибині століть. Ці дивовижні числа були відкриті послідовниками Піфагора, при цьому піфагорійці знали тільки одну пару дружніх чисел — 220 і 284.
 
Довго вважали, що наступну пару дружніх чисел 17 296 і 18 416 відкрив 1636 року відомий французький математик П’єр Ферма. Але нещодавно в одному з трактатів арабського вченого Ібн аль-Банни (1256–1321) були знайдені рядки: «Числа 17 296 і 18 416 є дружніми. Аллах всемогутній». Після Декарта нові дружні числа знайшов Леонард Ейлер. Він відкрив 59 пар дружніх чисел, серед яких були і непарні числа, наприклад, 9 773 505 та 11 791 935. Він запропонував п’ять способів відшукання дружніх чисел. Цю роботу продовжили математики наступних поколінь. Зараз відомо близько 1100 пар дружніх чисел. 1867 року шістнадцятирічний італієць Нікколо Паганіні сколихнув математичний світ повідомленням про те, що числа 1184 і 1210 дружні! Цю пару, найближчу до 220 і 284, прогледіли всі знамениті математики, які вивчали дружні числа.
 
Пару чисел 220 і 284 вважають символом дружби. У середні віки були популярними талісмани з вигравіруваними на них числами 220 і 284, які нібито сприяють зміцненню любові.
 
Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць. Наприклад, чи є пари дружніх чисел, у яких одне число парне, а інше — непарне? Скінченна чи нескінченна кількість пар дружніх чисел? Чи існує загальна формула, що дозволяє описати всі пари дружніх чисел?
 
Досконалі числа. Іноді окремим випадком дружніх чисел уважають досконалі числа: кожне досконале число дружнє собі. Нікомах Гераський, знаменитий філософ і математик, писав: «Досконалі числа красиві. Але відомо, що речі рідкісні і нечисленні, потворні зустрічаються у великій кількості. Надлишковими і недостатніми є майже всі числа, тоді як досконалих чисел небагато». Але скільки їх — Нікомах, який жив у першому столітті нашої ери, не знав.
 
Досконалим називають число, яке дорівнює сумі всіх своїх дільників (включаючи 1, але виключаючи саме число).
 
Першим прекрасним досконалим числом, про яке знали математики Стародавньої Греції, було число 6. На шостому місці на званому бенкеті сидів при столі найповажніший, найпочесніший гість. У біблійних переказах стверджується, що світ був створений за шість днів, адже серед досконалих чисел більш досконалого числа ніж 6, немає, оскільки воно перше серед них.
 
Розглянемо число 6. Число має дільники 1, 2, 3 і саме число 6. Якщо додати дільники, відмінні від самого числа, то дістанемо 6:1236++=. Отже, число 6 дружнє самому собі і є першим досконалим числом.
 
Наступним досконалим числом, відомим давнім, було 28. Мартін Гарднер убачав у цьому числі особливий сенс. На його думку, Місяць оновлюється за 28 діб, оскільки число 28 досконале. У Римі 1917 року під час підземних робіт знайшли дивну споруду — будівлю неопіфагорійської академії наук. У цій споруді навколо великої центральної зали розташовано двадцять вісім келій для кожного з двадцяти восьми членів академії. До останнього часу стільки ж членів, часто просто за звичаєм, причини якого давним-давно забуті, належало мати в багатьох учених товариства. До Евкліда були відомі тільки ці два досконалі числа, і ніхто не знав, чи існують інші досконалі числа і скільки таких чисел може бути.
 
Згодом Евклідові вдалося знайти ще два досконалі числа: 496 і 8128.
Dounload PDF

Відгуки читачів