Школа Чародійства. Принцип Діріхле

Н. Д. Сімонова, м. Харків

Діти по­трапляють до чарівної країни, де вивчають «заклинання» і вчаться їх застосовувати. За виконану роботу вони отримують нагороди.


Коли учні Школи Чародійства вирушали вперше до Хитрого Дракона, то трохи боялися. Дракон, усе-таки!
 
Данило був налаштований захищати дівчаток. Він повідомив, що за потреби готовий убити чудисько.
 
Дракон теж побоювався зустрічі з учнями. Він сумнівався, чи можна довірити Чарівну Кулю дітям. Адже вони нічого ще не вміють робити і можуть
зашкодити другу.
 
Тоді на великій нараді Чарівників було вирішено влаштувати для учнів випробування, яке полягало в тому, щоб довести, що Куля знаходиться в Дракона, потім знайти ключове слово, ключ і цифровий код.
 
Діти радо погодилися.
 
У Драконовій родині мали вилупитися з яєць діти. Яйця мали форму кулі, і Чарівна Куля від них нічим не відрізнялася. Дракониха
сховала Кулю між яйцями і запропонувала перше випробування.
 
Задача 1
15 яєць поклали до 7 кошиків. Доведіть, що знайдеться кошик, у якому лежить більше ніж 2 яйця.
 
Маленькі Чарівники замислилися. Досі вони таких задач не розв’язували, тому не знали, з чого почати.
 
До них підійшов великий Маг Діріхле і запропонував розв’язати дещо простіші задачі.
 
— Я навчу вас чародійства, яке називають принципом Діріхле. У жартівливій формі це звучить так: «Не можна трьох кроликів посадити
по одному у дві клітки».
 
— Звичайно, — сказала Вероніка, — один кролик буде зайвим, тому його доведеться підсадити до якого-небудь кролика, який вже сидить у клітці.
 
— Звісно, — підтвердив Маг. — Пропоную розв’язати такі задачі.
 
Задача 2
13 учнів виконали контрольну роботу. Доведіть, що хоча б двоє з них отримали однакові оцінки.
 
Задача 3
25 учнів виконали контрольну роботу. Доведіть, що хоча б троє з них отримали однакові оцінки.
 
Задача 4
50 учнів виконали контрольну роботу. Доведіть, що хоча б п’ятеро з них отримали однакові оцінки.
 
— Задачу 2 розв’язати легко, — сказала Лєра. — Різних оцінок 12, а учнів 13. Отже, якусь оцінку отримають хоча б двоє учнів. А що робити із задачею 3?
 
— Припустіть, що кожну оцінку отримали рівно двоє учнів, — запропонував Маг.
 
— Вийде 24 учні, — порахувала Міла, — оскільки 24<25, то якусь оцінку отримають хоча б троє учнів. 
 
Задачу 4 розв’язали всі одночасно. Якби однакову оцінку отримали рівно четверо учнів, то їх було б 48. Оскільки 48<50, то знайдеться 5 учнів, які отримали однакові оцінки.
 
 
Розв’язання задачі 1
 
Лєра почала міркувати:
 
— У нас 15 яєць і 7 кошиків. Якщо покласти по 2 яйця до кожного кошика, то вийде 14 яєць. Оскільки 1514>, то в якомусь кошику обов’язково опиниться 3 яйця.
 
— Але ж може бути не лише 3, — сказав Костя, — але й 5, і 7, і 15 яєць в одному кошику!
 
— Правильно, — відповіла Лєра. — У задачі сказано, що їх буде більше ніж 2. Тому все правильно.
 
Діти пояснили Драконові, що 15>14, а це означає, що в одному кошику буде обов’язково більше ніж 2 яйця. Звідси випливає, що одне яйце зайве. Отже, Чарівна Куля знаходиться серед них.
 
 
Дракон похвалив учнів і попросив допомогти розібратися з жуками.
 
Задача 5
Є дошка в клітинку 5×5. У кожній клітинці сидить дресирований жук. За сигналом жуки переповзають на клітинку, що має із сусідньою спільну сторону. Дракон не може зрозуміти, чому після переповзання обов’язково з’являються порожні клітинки.
 
— Тут можна застосувати принцип Діріхле, — запропонувала Настя.
 
Діти попросили пояснити.
 
— Пофарбуймо клітинки дошки сірим і білим кольорами. Назвемо умовно жуків, які сидять на сірих клітинках, сірими, а на білих — білими.
 
— Я зрозумів! — вигукнув Ігор. — Сірих клітинок 13, а білих 12. Але кожен жук може переповзти тільки на клітинку іншого кольору. Оскільки 13>12, то хоча б одна сіра клітинка залишиться вільною.
 
— Як ви вважаєте, чи може залишитися вільною більше ніж одна клітинка? — запитала Міла.
 
— На мою думку, може, — відповіла Вероніка, — адже в одній клітинці можуть опинитися не лише 2 жуки, але й 3, і 4.
 
Міла погодилася з дівчинкою.
 
Дракон ще раз похвалив учнів за те, що вони не просто розв’язують задачі, а потім їх ще й досліджують.
 
— Ви розмірковуєте, як справжні чарівники, — сказав він школярам і запропонував наступне випробування.
 
Знайдіть ключове слово:
БИРКА (3; 5) БИК
ЦИРКУЛЬ (5; 6; 7) ЦИРК
ПРАВИЛО (5;6) _ _ _ _ _
 
Ліза швидко встановила закономірність і прочитала ключове слово «ПРАВО».
 
Далі дорога лежала через цифровий місток. Порахуйте колоди моста четвірками, шестірками, сімками і дев’ятками.
 
Рахувати вміли всі, тому через місток пройшли швидко.
 
Дракон переконався, що юні чарівники старанно навчаються в основній школі і виконують усі завдання вчителя. Вони успішно застосовують свої знання, розв’язуючи чарівні задачі.
 
Наступна задача, на думку Дракона, була дуже складною. Треба було намалювати ключ, який відчинить двері.
 
Але учні швидко її розв’язали. Адже цього чародійства вони вже навчилися.
 
За декілька секунд Настя показала малюнок.
 
Дракон був приємно здивований і запропонував учням наступне випробування.
 
Відгадайте загадки і складіть числа, які відповідають першим буквам відповідей.
 
1. Який винахід дозволяє дивитися крізь стіни?
 
2. З мене часом річки витікають,
А в руках я замок відчиняю.
 
3. Хто двічі народиться: вперше гладкий, удруге м’який?
 
Ліза сказала, що в першій загадці крізь стіну дивляться у вікно. Це слово починається з букви В. В алфавіті ця буква стоїть під номером 3.
 
Міла назвала відповідь другої загадки — «ключ». Це слово починається з букви К. В алфавіті вона записана під номером 15.
 
Над третьою загадкою замислилися надовго. Нарешті, Лєра здогадалася, що гладке — це яйце, а м’яке — пташеня.
 
Відповідь. Птах.
 
Буква П записана під номером 20.
 
— Але ж риби теж двічі родяться, — помітив Ігор. — Спочатку ікра, а потім риба.
 
— Змії теж відкладають яйця, — додав Костя.
 
— І черепахи, і крокодили, — згадали Настя і Вероніка.
 
Лєра розсудила всіх. Вона повідомила, що риба, черепаха і крокодил не м’які, а яйце змії не гладке. Тому ці відповіді враховувати не слід.
 
Усі погодилися й обчислили суму чисел: 3+15+20=38.
 
 
Це був цифровий код.
 
Настав вирішальний момент. Костя провернув чарівний ключ у чарівному замку, Ліза набрала чарівний код. Усі хором вимовили ключове слово. Двері відчинилися, і повітрям попливла Чарівна Куля. Вона підлетіла до кожного учня і привіталася. Діти радісно відповідали.
 
Дракон на прощання побажав усім успіхів.
 
Домашнє завдання
 
Задача 1
У школі навчається 400 учнів. Доведіть, що серед них є ті, які в один день святкують свій день народження.
 
Задача 2
У кожній клітинці дошки 5×5 сидить жук. Усі жуки за сигналом переповзають на сусідні по діагоналі клітинки. Чи залишаться на дошці вільні клітинки після того, як усі жуки переповзуть? Яка їх найменша кількість?
 
Задача 3
Придумайте задачу на застосування принципу Діріхле.
Відповіді
 
Задача 1. У році 365 або 366 днів. Це менше, ніж 400.
Задача 2
Розфарбуємо дошку смугами. Тоді, пересуваючись по діагоналі, жук має переповзти на клітинку іншого кольору. Оскільки сірих клітинок 15, а білих 10, то для «сірих» жуків клітинок не вистачить. Найменша кількість клітинок, що залишилися вільними, 5.
 
Задачі, придумані учнями Школи Чародійства
1. Хлопчик розклав 10 аркушів паперу в 7 тек. Доведіть, що є тека, у якій лежать хоча б 2 аркуші.
2. 15 школярів з’їли 16 цукерок. Доведіть, що серед них знайдеться школяр, який з’їв більше ніж одну цукерку.
3. На дачі було 5 курок і 3 клітки. Доведіть, що знайдеться клітка, у якій буде хоча б 2 курки.
4. Діти розклали 70 олівців у 23 коробки. Доведіть, що знайдеться коробка, у якій буде більше ніж 3 олівці.
5. Четверо учнів 5-А, 5-Б, 6-А і 6-Б класів склали 5 завдань. Доведіть, що хоча б двоє учнів навчаються в одному класі.
 
Dounload PDF

Відгуки читачів