Заметки по преподаванию геометрии

Ведущая рубрики А. А. Агафонова, г. Харьков


Статья под таким названием вышла в 4-ом и 5-ом номерах журнала «Математическое образование» за 1912 год. Ее автор — Николай Александрович Извольский (1870–1938) — русский педагог-математик, автор учебников математики, редактор и издатель журнала «Математический вестник». Несмотря на то, что статья написана более 100 лет назад, некоторые проблемы преподавания геометрии, затронутые в ней, на наш взгляд, актуальны и сегодня, а отдельные мысли, высказанные автором, являются спорными. В любом случае, статья наводит на размышления, приглашает задуматься, помогает понять, какие этапы пришлось пройти науке, прежде, чем стать школьным курсом геометрии.

 

Предлагаем сокращенный вариант статьи «Заметки по преподаванию геометрии».

 

Нужны ли в школьном курсе геометрии определения и доказательства?

 

Однажды летом мне пришлось беседовать с гимназисткой провинциальной гимназии, перешедшей из 5-го в 6-й класс. На вопрос: «Что пройдено в 5 классе по геометрии?» я получил ответ: «Не помню!». Тогда я спросил: «Что же вы в течение целого года делали по геометрии?» На этот вопрос был дан быстрый и ясный ответ: «Мы доказывали!».

 

Этот ответ показывает, что обучение геометрии поставлено так, что, в сущности, обучают не геометрии, а доказательствам, что приводит к формальному мышлению. Наши учебники слагаются из доказательств ряда, неизвестно откуда появившихся, теорем. И если преподаватель не вносит в курс геометрии чего-либо своего, что проясняло бы эту туманность, то учащиеся могут прийти к выводу, что геометрия — это предмет, где обучают доказательствам.

 

Два пункта обычно кладутся в основание обучения геометрии:

1) все, что не аксиома, обязательно доказывается;

2) при доказательстве ученики должны исходить из определений, которыми заполнен курс геометрии.

 

Автор учебника «Курс элементарной геометрии» (Москва, 1907 г.) — Д. Ройтман в предисловии к изданию говорит, что не будет следовать новой моде, состоящей, например, в том, что сначала нужно доказывать, что можно восстановить перпендикуляр, а потом, намного позже, показывать, как это сделать. «Что было бы с нами, — говорит автор, — если бы приступая к каждому, самому простому практическому шагу, мы постоянно требовали бы от себя строгого доказательства его возможности на основании аксиом и определений».

 

Одна из новейших программ по математике (программа кадетских корпусов) настаивает на построении системы определений. В курсе геометрии Д. Ройтмана находим: «Весь курс геометрии построен на точных определениях простейших, идеальных геометрических форм». И еще: «В определении должно быть сказано все, что нужно, но ничего лишнего: должно быть ровно столько признаков, сколько нужно, чтобы отличить это понятие от других».

 

Но автор в своем курсе дает вовсе не такие определения. Например, «ромб есть параллелограмм, у которого все стороны равны». Известно ведь, что достаточно равенства двух соседних сторон. Или «перпендикуляром к плоскости называют прямую, которая перпендикулярна ко всякой прямой на плоскости, проходящей через ее основание». Известно ведь, что достаточно перпендикулярности к двум прямым.

 

С другой стороны, мы ведь знаем, как много споров может вызвать вопрос об определении какого-либо отдельного геометрического объекта (например, ромба). Еще труднее дать систему определений основных геометрических понятий, которая не противоречила бы самой себе.

 

Поэтому, отбросив стремление к построению системы определений, я прихожу к следующему, единственно правильному, основному положению методики геометрии:

 

Все обучение геометрии должно основываться на образах геометрических объектов, создание которых в представлении учащихся и является основной задачей обучения.

 

В своей практике мы постоянно сталкиваемся с последствиями игнорирования этого положения. Учащийся, например, знает определение перпендикуляра и основанное на нем определение высоты треугольника. Но предложите ему построить высоты в данном тупоугольном треугольнике и вы столкнетесь с тем, что у него отсутствует образ перпендикулярных прямых. Я бы предпочел, чтобы мой ученик, хотя и затруднился бы высказать словами «перпендикуляром называется…», зато сумел бы дать рисунок перпендикуляра к данной прямой при любой обстановке.

 

Так что же такое многоугольник?

Ф. Клейн различает два периода в развитии геометрии: один продолжается до конца ХVIII века, а другой начинается в ХIХ веке, когда возникла новая отрасль геометрии, или, как теперь принято называть, проективная геометрия. Существенным отличием второго периода от первого является то обстоятельство, что проективная геометрия устанавливает равноправие между основными геометрическими объектами: точкой, линией (простейшей из линий является прямая) и поверхностью (простейшей из поверхностей является плоскость).

 

Ф. Энрикес в начале своего курса проективной геометрии устанавливает, что предметом изучения геометрии служат отношения между элементами (точки, линии, поверхности, прямые линии, плоскости и т. д.). Еще точнее говорит Д. Гильберт: «Существуют три различные системы вещей: точки, прямые и плоскости. Точки являются элементами линейной геометрии, точки и прямые — элементами плоской геометрии, точки, прямые и плоскости — элементами пространственной геометрии».

 

Анри Пуанкаре в своем труде «Наука и метод» дает интересную характеристику научной работы вообще и в области математики в частности. Он устанавливает, что всякая наука имеет дело с фактами. Из ряда фактов мы выбираем те, которые представляются нам простейшими. Затем начинается комбинационная работа: из различных элементов, которыми мы располагаем, можно создать миллионы комбинаций и рассматривать те из них, которые почему-либо представляются нам интересными. Но одна такая комбинация ничего не дает. Другое дело, если эта комбинация займет место в ряду аналогичных ей, и мы подметим эту аналогию, — перед нами уже будет не факт, а закон.

 

Применяя все сказанное к геометрии, мы получаем следующую схему ее развития.

 

Из наблюдений над внешним миром мы пришли к необходимости признать существование нематериальных точек, линий и поверхностей. Эти три рода вещей и являются теми элементами, над которыми мы выполняем вышеупомянутую комбинационную работу. Среди линий и поверхностей мы находим простейшие — прямую линию и плоскость, и с присоединением к ним точек идет работа комбинирования.

 

Так прямолинейный отрезок должен восприниматься как комбинация из прямой линии и двух ее точек, угол — комбинация из точки и двух исходящих из нее лучей, плоский многоугольник — комбинация известным образом соединенных точек и прямых, многогранник — комбинация точек, прямых и плоскостей.

 

Нельзя не высказать сожаления, что признак «выделение части плоскости или пространства» в нашем курсе геометрии занял главенствующее место. Так в наших учебниках геометрии мы постоянно встречаем определения; «многоугольником называется часть плоскости..», «Многогранником называется часть пространства…». Такая точка зрения была единственно возможной до возникновения новой или проективной геометрии. Теперь она должна быть заменена новой, основанной на том, что элементами геометрии являются точки, линии и поверхности, а остальные сложные геометрические объекты являются комбинациями основных.

 

Что положить в основу изучения школьного курса геометрии?

 

Ничтожность результатов, достигаемых в результате изучения курса геометрии, повлекла за собой мысль о том, что следует коренным образом изменить этот курс.

 

В основу курса геометрии нужно положить создание образов геометрических объектов и убеждать учащихся в справедливости их свойств не только словесными рассуждениями, но и наглядными представлениями.

 

Например, пусть две палочки изображают две стороны треугольника. Я держу их в руке так, что два их конца соединены вместе. Указываю, что третья сторона вполне определена, она является отрезком, соединяющим свободные концы палочек. Если я стану увеличивать угол между двумя сторонами (палочками), я увижу, что и третья сторона увеличивается. Затем тем ученикам, которым это посильно, может быть предложено и логическое доказательство этой теоремы.

 

Может быть, вовсе удалить из курса слова «определение», «теорема», «доказательство», а заменить их выражениями «я умею построить такой-то объект», «я сравниваю его со знакомыми ранее объектами и вижу то или другое», «здесь возникает следующий вопрос» и т. д.

 

План изучения какого-либо отдельного параграфа может быть таким. Прежде всего, для первоначального ознакомления с объектом необходимо научить строить этот объект. Затем должно следовать изучение отличительных свойств объекта, направляемое его сопоставлением с изученными ранее объектами. Затем должны следовать упражнения на построение, которые охватывали бы вариации этого объекта в зависимости от исходных пунктов построения и от имеющего здесь места «произвола». Наконец, если угодно, можно дать место чисто логическим упражнениям: составлять различные определения изучаемого объекта, и пользуясь признаками, перечисленными в определении, логически выводить из них остальные.

 

Для примера рассмотрим начало стереометрии, где идет речь о параллельности и перпендикулярности в пространстве. В обычном изложении этот раздел состоит из ряда теорем, неизвестно почему возникших, и возбуждает у учащихся чувство скуки. Между тем, этот раздел может и должен быть сделан интересным, так как здесь идет речь о ряде обобщений, исходным пунктом которых является взаимное расположение двух прямых на плоскости, здесь обобщается идея параллельности и перпендикулярности, идея угла.

 

План изучения этой темы может быть таким. Сначала развивается идея параллельности: изучается вопрос, как провести прямую, параллельную данной, через данную точку пространства. Далее возникает вопрос: возможно ли в пространстве расположение прямой и плоскости, аналогичное расположению двух параллельных прямых. Оказывается возможно построить прямую, не пересекающую данную плоскость. Возникает вопрос: сколько таких прямых (параллельных плоскости) можно провести через данную точку. Здесь является возможным рассмотреть три попарно параллельные прямые. Далее имеет место следующий ряд соображений и возникающих из них вопросов, на которые нужно дать ответы.

 

1) Через точку вне плоскости можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости. Если мы построим только две таких прямых, то ими определяется положение новой плоскости. Нет ли особенности в расположении этой новой плоскости по отношению к данной? (Выяснить, что эти плоскости не пересекаются, а потому называются параллельными.)

2) Поскольку через точку вне плоскости можно построить множество пар прямых, параллельных данной плоскости, то ними определяется множество плоскостей. Возникает вопрос: различны ли эти плоскости или все совпадают? (Для ответа на этот вопрос необходимо установить предварительно, что если построены две параллельные плоскости, то они пересекают третью по параллельным прямым.)

3) Далее необходимо остановиться на случае трех попарно параллельных прямых, на углах с параллельными сторонами в пространстве.

 

Далее идет развитие идеи перпендикулярности. В пространстве, как и на плоскости, имеют место два основных вопроса:

1) Дана прямая и точка на ней. Можно ли (как это сделать?) построить другую прямую, перпендикулярную к первой? Если можно, то сколько?

2) Такие же вопросы в случае, если точка не лежит на прямой.

 

Из того факта, что к данной прямой через точку, принадлежащую ей, можно построить бесконечное множество перпендикуляров, возникает вопрос, как располагаются эти перпендикуляры. Когда учащиеся уяснят, что все эти перпендикуляры лежат в одной плоскости, то эта особая по отношению к прямой плоскость может быть названа перпендикулярною к данной прямой. Из того факта, что положение плоскости определяется двумя пересекающимися прямыми, вытекает признак перпендикулярности плоскости к данной прямой.

 

Далее возникают четыре основных вопроса:

1) К данной прямой построить перпендикулярную плоскость, проходящую через точку на прямой.

2) К данной прямой построить перпендикулярную плоскость, проходящую через точку вне прямой.

3) К данной плоскости построить перпендикуляр, проходящий через точку на этой плоскости.

4) К данной плоскости построить перпендикуляр, проходящий через точку вне этой плоскости.

 

Во всех этих задачах имеют место вопросы: можно ли? сколько?

 

Решение последней задачи требует построения параллельных прямых, поэтому здесь само собой делается переход к фигурам, в которых сочетаются параллельные и перпендикулярные элементы. Первая из таких фигур, получаемая при решении 4-ой задачи, состоит из двух параллельных прямых и перпендикулярной к ним обеим плоскости. Возникает вопрос о различных способах построения этой фигуры. При решении 4-ой задачи ее строили в таком порядке: к данной плоскости из любой ее точки строим перпендикуляр (3-я задача) и через данную вне плоскости точку строим прямую, параллельную этому перпендикуляру. После этого устанавливаем, что она также перпендикулярна к плоскости.

 

Другие способы построения такой фигуры:

1) Строим два перпендикуляра к данной плоскости. Параллельны ли они?

2) Строим две прямые, параллельные между собой, и плоскость, перпендикулярную к одной из них. Перпендикулярна ли плоскость к другой прямой?

 

В такой форме этот раздел стереометрии приобретает ту связность изложения, которой так не хватает ему в обычном курсе.

 

Изложенный план обучения переносит центр обучения на классную работу и поэтому здесь не может быть речи о моментах, характеризуемых словами «задается» и «спрашивается», понимаемыми в смысле нашей установившейся схемы преподавания. Тем более здесь не может быть речи о том, чтобы ответ на уроке оценивался баллом.

 

Будем надеяться, что не так уж далеко время, когда средняя школа освободится от этой губящей дело преподавания схемы, которая характеризуется словами «задается» и «спрашивается».

Dounload PDF

Відгуки читачів