Володимир Арнольд: Світ тримається на дітях, які вчаться

Микола Шмигевський, м. Київ


Від редакції. Рік тому (19 січня 2013 року) пішов з життя Микола Васильович Шмигевський. Він був кандидатом фізико-математичних наук, доцентом, викладав вищу математику в Київських вишах. Крім того, він опікувався проблемами шкільної освіти, був популяризатором математики, писав книги і статті з історії науки. Микола Васильович був постійним автором і великим другом журналів «Математика в школах України» та «Математика в школах України. Позакласна робота». Вшановуючи пам’ять про цю видатну людину, ми пропонуємо одну з останніх статей М. В. Шмигевського.

 

У будь-якій науці є люди, подібні до явищ природи. Їх потужний, і водночас природний, дарований від народження геній, виокремлює їх із наукової спільноти, підносить на вершини світової слави. Їх талант і титанічна працелюбність дозволяють плідно творити та відкривати нові горизонти пізнання. Саме такою особистістю в науці був академік ВолодимирІгорович Арнольд —мислитель, математик, педагог.

 

Основні наукові праці вченого висвітлюють проблеми теорії функцій, теорії диференціальних рівнянь, геометрії та аналітичної механіки. За свою кар’єру В. І. Арнольду вдалося суттєво вплинути на розвиток низки галузей математики, включаючи теорію динамічних систем, теорію катастроф, топологію, алгебраїчну геометрію, класичну механіку і теорію сингулярностей.

 

Його внесок у математику стосується всіх сторін наукової творчості —і розв’язання складних задач, причому задач класичних, і постановки нових проблем, і створення нових теорій, і вдосконалення математичної освіти.

 

Варто підкреслити, що академік В. І. Арнольд, на думку більшості вчених, належав до світових лідерів математичної науки, які визначають її проблематику та шляхи розвитку на десятиліття вперед.

 

Народився Володимир Ігорович в Одесі, в інтелігентній сім’ї, де панувала любов до науки та мистецтва. Його батько, Ігор Володимирович Арнольд (1900–1948) —відомий радянський математик-методист, перший у СРСР доктор педагогічних наук (1942), професор, чл.-кор. АПН. Батько в 1930–1937 рр. працював у Московському університеті. Основні його праці стосуються теорії чисел і методики навчання математики, написав відомі на той час книги: «Теоретическая арифметика» (1938), «Теория чисел» (1939), «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946), «Отрицательные числа в курсе алгебры» (1947), «Показатели степени и логарифмы в курсе элементарной алгебры» (1948) та ін.

 

Чотири покоління родичів по лінії батька були пов’язані з математикою. Серед близьких родичів по батьку було також чимало людей, які служили на Чорноморському флоті, причому п’ятеро з них стали адміралами.

 

Ніна Олександрівна Арнольд (уроджена Ісакович, 1909–1986), мати Володимира Ігоровича, була мистецтвознавцем не лише за освітою, але й за покликанням. Вона тривалий час працювала в Пушкінському музеї в Москві.

 

Мати була племінницею відомого радянського фізика —Л. І. Мандельштама, основоположника наукової школи, серед учнів якого були академіки І. Є. Тамм, М. А. Леонтович, А. А. Андронов та ін.

 

Усе життя Володимира Ігоровича було сходженням на найвищі вершини. Дитинство його минуло в оточенні видатних особистостей, спілкування з якими здійснило дуже великий вплив на хлопця.

 

Перші спогади майбутнього вченого припадають на 1941 рік. Почалася війна: бомбосховище у Москві, окопи, промені прожекторів, літаки, осколки снарядів… Евакуація до Казані і потім у Магнітогорськ. Ігор Володимирович згадував, що в Казані хлопчиком йому часто доводилося спати під роялем на квартирі відомого алгебраїста М. Г. Чеботарьова, який, до речі, з 1943 року був головою Казанського фізико-математичного товариства. Можливо, саме під роялем і зародилася любов до математики та музики?!

 

Потім Магнітогорськ —зовсім інший світ: просо, городи, чергування. Друзі — Катаєви, Урнови — жили в одному будинку. Бабуся змусила вчити французьку. Перша книжка —«Робінзон Крузо», пізніше «Таємничий острів». І батьки, і бабуся вільно розмовляли англійською, німецькою, французькою. Мати викладала англійську для дирекції місцевого заводу, за нею спеціально приїжджав розкішний автомобіль з відкидними сидіннями. За молоком ходили до села. Збирали врожай проса і картоплі зі своєї ділянки. Проливні дощі й потоп. Ось і все, що утримала дитяча пам’ять із тих тяжких часів.

 

Перші наукові спогади

У Москві Арнольди жили в одному з арбатських провулків, у самому центрі міста. В. І. Арнольд навчався в знаменитій 59-й школі, з якої вийшло багато відомих людей, зокрема математиків, механіків і фізиків. Володимир Ігорович з великою любов’ю згадував своїх учителів, особливо вчителя математики І. В. Морозкіна, від якого він набув, за його словами, «першого математичного досвіду».

 

Значний вплив на юнака здійснила участь у гуртку, який організував у себе вдома Олексій Андрійович Ляпунов, захоплений ентузіаст і широко освічена людина, потомок родовитої дворянської сім’ї. Цей гурток назвали ДНТ —добровільне наукове товариство. Там обговорювали різні цікаві проблеми науки, часто досить глибокі, що стосувалися фізики, космології, геології, біології (включаючи заборонену генетику і кібернетику).

 

Свою першу наукову доповідь Володимир Арнольд зробив у десятилітньому віці саме в ДНТ. Доповідь була про інтерференцію хвиль, із дослідами у ванній, з описом визначення положення літака над Тихим океаном за допомогою перетину двох гіпербол (заданих різницями фаз сигналів від трьох радіостанцій). Під час підготовки довелося розібратися в теорії конічних перерізів, сфер Данделена, зрозуміти перехід від еліпсів до парабол і до гіпербол, з одного боку, і принцип Гюйгенса в теорії поширення хвиль — з іншого боку.

 

ДНТ з ентузіазмом збиралося щотижня і сприяло захопленню наукою. Усі учасники «Товариства» у подальшому житті зберегли дружні стосунки, хоча професіональні шляхи їх розійшлися: один став знаменитим кардіологом, декілька членів товариства стали академіками РАН (В.І. Арнольд, С.П. Новіков та інші).

 

Із родичів найбільший науковий вплив на юнака здійснили його дядьки. Микола Борисович Житков (інженер-буровик, родич письменника Бориса Житкова) пояснив 12-річному підлітку математичний аналіз (ілюструючи його параболоїдальною формою поверхні чаю, що обертається навколо осі в стакані). Другий дядько, Михайло Олександрович Ісакович (брат матері, фізик) випробовував на юнакові чимало задач та глав підручника фізики, який він писав у складі великого колективу під керівництвом Г. С. Ландсберга. Зазначимо, що як М. О. Ісакович, так і Г. С. Ландсберг були учнями Л. І. Мандельштама, відомого фізика і радіотехніка, брата бабусі В. І. Арнольда.

 

Головним висновком для юного Володимира Арнольда з його частих дитячих розмов із відомими вченими різних спеціальностей було відчуття глибокої єдності всіх наук (включаючи не лише математику, фізику і астрономію, але й лінгвістику, і археологію, і генетику). Не осторонь була й уся європейська культура, від Лукреція до Бенвенуто Челліні та від Марка Аврелія до капітана Скотта.

 

Видається, якщо не чудом, то вельми дивним той факт, що так багато корисного й глибокого можуть перейняти діти від людей «нобелівського» рівня просто у повсякденному спілкуванні, у прагненні бути схожими на них. Справді, «з ким поведешся, того й наберешся».

 

Одна й та ж людина могла розповідати і про особливості грецького театру, і про квантово-механічне співвідношення невизначеності. Олексій Андрійович Ляпунов, математик і логік, керівник ДНТ, демонстрував дітям теорію Канта–Лапласа утворення Сонячної системи, обертаючи в колбі суміш аніліну з гліцерином, поки анілін не збирався в подібні до планет кулі. І він же давав дітям читати твори відомого революціонера-народника, різностороннього вченого М. О. Морозова, який відсидів 20 років у Шліссельбурзькій в’язниці. До речі, Морозов написав у в’язниці 26 томів із математики, фізики, хімії та історії. За свої хімічні відкриття невдовзі після заслання він отримав ступінь доктора наук, причому за рекомендацією самого Д.І. Менделєєва.

 

Домашня бібліотека

У батьківській бібліотеці половина книжок була написана іноземними мовами, і сину дозволяли користуватися бібліотекою на власний розсуд. Але іноді батьки попереджали, що таку чи іншу книжку «краще не читати до 30 років, щоб не зіпсувати враження». Дивним чином, але син і не прагнув спеціально читати те, що не рекомендувалось. Наприклад, у багатотомному Паризькому повному зібранні творів Мопассана мати нігтем відмітила те, що не бажано ще читати, і це було майже законом для юнака.

 

Із нематематичних книжок майбутнього вченого вразила полиця, де, поряд із надзвичайно старою і пошарпаною копією «Путешествия из Петербурга в Москву»,були іноземні книжки про карбонаріїв.

 

Із математичних книжок (яких було багато) юний Арнольд спочатку прочитав курс математичного аналізу Гренвіля і Лузіна, який легко зрозумів, оскільки раніше вже крутив чашку з чаєм на диску патефона (уроки дядька).

 

Книжки колекції Бореля наводили на юнака нудьгу; Лопіталь і Гурса, якого так ганьбили Бурбакі, були значно цікавішими і читалися з більшим бажанням. Була ще багатотомна німецька математична енциклопедія за редакцією Ф. Клейна, завдяки якій вдалося призвичаїтися до готичного шрифту. Було ще чимало чудових книжок серії «Матезис», у тому числі популярні книжки видатного Анрі Пуанкаре —у цій серії математика і фізика зливалися воєдино, що дуже імпонувало майбутньому фахівцеві саме в цих двох величних науках.

 

Перша наукова робота В. І. Арнольда (сумісна з А. А. Кириловим) так і не була надрукована, хоча обидва студенти-молодшокурсники і переписали її сім разів (за наказом професора Є. Б. Динкіна, який поставив задачу). Річ у тім, що після сьомого переписування Володимир Арнольд випадково відкрив у своїй бібліотеці старий французький шкіряний том підручника Коші і натрапив на практично ту саму теорему, яку доводив у статті. Тож із першою публікацією довелося зачекати.

 

Зустріч із Колмогоровим

1954 року Володимир Арнольд став студентом механіко-математичного факультету Московського університету (того часу інших університетів у Москві не було). «Плеяда великих математиків, зібраних на одному факультеті, була винятковим явищем, і мені не доводилося зустрічати нічого подібного більше ніде», —згадував Арнольд. При цьому він називав такі імена (послідовність імен належить Володимиру Ігоровичу): А. М. Колмогоров, І. М. Гельфанд, І. Г. Петровський, Л. С. Понтрягін, П. С. Новіков, А. А. Марков, А. О. Гельфонд, Л. А. Люстерник, А. Я. Хінчин і П. С. Александров.

 

Коли Арнольд навчався на другому курсі, Андрій Миколайович Колмогоров повідомив про свій науковий семінар для студентів молодших курсів. На першому ж засіданні, кажучи про далекі перспективи, Колмогоров сказав, що можна помріяти й про те, щоб знайти підходи до розв’язання 13-ї проблеми Гільберта. Сам Гільберт висловив гіпотезу, що неможливо звести функції багатьох змінних до суперпозиції функцій меншого числа змінних.

 

А далі сталося непередбачуване: Андрій Миколайович несподівано навіть для самого себе з нечуваною енергією почав атакувати цю проблему Гільберта і зробив значний прорив у її спростуванні. Він довів, що неперервні функції багатьох змінних можна звести до функцій трьох змінних. Останній крок у розв’язанні 13-ої проблеми Гільберта вчитель дав здійснити своїм послідовникам. Таким послідовником виявився третьокурсник Володимир Арнольд.

 

У квітні 1957 року на столі Колмогорова лежав учнівський зошит у клітинку —курсова робота студента третього курсу Володимира Арнольда. У ній була розв’язана 13-та проблема Гільберта. Це була перша наукова праця Арнольда, яка миттєво зробила його ім’я відомим усьому математичному світу. А вже потім розпочалася шеренга відкриттів, лише перелік яких займає кілька сторінок.

 

У своїй дипломній роботі Арнольд далеко розвинув один колмогорівський метод у теорії динамічних систем. Подальший розвиток цей метод отримав у працях видатного американського математика (німецького походження) Юргена Мозера. А теорія, побудована цими трьома математиками, отримала назву КАМ-теорія —теорія Колмогорова–Арнольда–Мозера. Ця теорія має численні застосування в математиці, механіці, космології, фізиці. КАМ-теорію по праву вважають одним із найвидатніших наукових досягнень минулого століття.

 

В. І. Арнольд революціонізував цілі математичні галузі, наприклад, теорію особливостей. У філософії з часів Гегеля висловлювали ідею про те, що «за переходу кількості в якість» еволюційні процеси нерідко здійснюють стрибки. На цьому й будувалась «теорія революцій». Процеси зі стрибками почали інтенсивно вивчати в середині минулого століття. Один з основоположників, французький математик Рене Том, запропонував екстравагантну назву для цього напряму —теорія катастроф.

 

У працях Арнольда ця теорія набула суттєвого розвитку. Володимир Ігорович завжди уникав невиправданої реклами, і тому називав новий напрям не «теорією катастроф», а «теорією особливостей», наголошуючи, що вона виникла у працях американського математика Хаслера Уітні у 50-х роках ХХ століття.

 

Видатними є успіхи В. І. Арнольда в природознавстві —гідродинаміці, космології, теорії потенціалу. Із захопленням і переконаністю В. І. Арнольд розвивав і пропагував ідеї Пуанкаре про те, що математика —це частина науки про природу, про світ, що нас оточує.

 

Класичні проблеми

Наведемо деякі класичні проблеми, які вдалося розв’язати В. І. Арнольду. Передусім слід назвати вищезгадану 13-ту проблему Гільберта. Арнольд ще в студентські роки зробив (услід за проривом у цій галузі, здійсненим його вчителем А. М. Колмогоровим) завершальний крок у доведенні того, що будь-яку неперервну функцію трьох змінних можна представити як суперпозицію неперервних функцій двох змінних.

 

Другий приклад —розв’язання класичної проблеми Біркгофа про стійкість еліптичної нерухомої точки відображення площини на себе, яке зберігає площу.

 

Третій приклад —доведення існування великого числа квазіперіодичних траєкторій у планетних системах (проблема, яка стояла в класичній механіці ще з часів Пуанкаре).

 

Теорії Арнольда

У тому, що стосується побудови нових теорій, треба зазначити, що В. І. Арнольд вирізнявся особливим баченням несподіваних зв’язків між різними галузями математики. Більшість нових математичних теорій, створених ним, ґрунтуються саме на таких зв’язках. Він сам писав в одній зі своїх останніх праць мемуарного характеру «Від суперпозицій до КАМ», що знаходження зв’язків між, здавалося б, далекими одна від одної речами — це одна з найбільших насолод, яку може дати математикові наша наука, і йому випало щастя пізнати таку насолоду кілька разів.

 

Наприклад, у теорії особливостей (а Володимир Ігорович є одним із її творців) ним був відкритий фундаментальний зв’язок між критичними точками гладких функцій і групами Кокстера, що призвело до сучасної класифікації особливостей.

 

Арнольду належить встановлення зв’язку між 16-ою проблемою Гільберта про овали дійсних алгебраїчних кривих і чотиривимірною топологію. Це викликало прорив у дослідженнях, пов’язаних із 16-ою проблемою Гільберта.

 

Володимир Ігорович знайшов важливий зв’язок між теорією кіс, з одного боку, та теорією особливостей і алгебраїчною геометрією — з іншого. У всіх цих випадках йдеться про побудову нових розгалужених математичних теорій, а іноді про цілком новий погляд на теорії, що існували раніше.

 

Арнольду належить також створення теорій дещо іншого роду —коли проблема містить дуже багато різних структур, і алгебраїчних, і топологічних. У таких випадках Володимир Ігорович встановлював, які саме структури відповідають за той чи інший ефект, і на основі подібного ретельного аналізу він узагальнював відомий результат у різних напрямах.

 

Знаменитим прикладом є створення симплектичної топології, яке розпочалося з його статті 1965 року в журналі Паризької академії наук. У цій праці та в низці наступних В. І. Арнольд висунув низку гіпотез, пов’язаних із числом нерухомих точок симплектоморфізмів, і в подальшому він неодноразово повертався до цієї тематики протягом усієї своєї математичної кар’єри. В останні роки Володимир Ігорович працював над створенням псевдоперіодичної топології, проективної топології, градієнтної топології…

 

Проблеми Арнольда

В. І. Арнольд вів два наукові семінари: один —у Москві, другий —у Парижі. Семінари були для студентів, але в них брали участь і аспіранти, і професори. Зазвичай осіб тридцять. Семінар на механіко-математичному факультеті МДУ існував понад сорок років, у Парижі —п’ятнадцять. Склад учасників семінарів час від часу оновлювався —приходила молодь, а втомлені життям чи розчаровані наукою залишали їх...

 

На засіданнях семінарів В. І. Арнольд формулював низку задач. Це були нерозв’язані проблеми, які він хотів би подолати. Потім, на наступних засіданнях, учасники семінарів розповідали про те, що вони придумали. Роздуми зазвичай записували. Іноді минали роки, перш ніж хтось давав повний розв’язок. Часто бувало так, що люди дізнавалися про проблему ще студентами, а розв’язували її вже аспірантами чи навіть кандидатами або докторами наук. Із цих задач згодом часто виникали нові наукові напрями. У Москві та Парижі під керівництвом В. І. Арнольда захистили дисертації близько 70 кандидатів наук і 10 докторів наук.

 

Коло проблем, які формулював Володимир Ігорович, було вельми широким і охоплювало різні розділи математики, механіки та фізики —від теорії диференціальних рівнянь до теорії чисел, від математичної логіки до алгебраїчної геометрії, від топології до гідродинаміки, від теорії катастроф до космології. Проблеми, які ставив учений на наукових семінарах, систематизовані та видані окремою книжкою спочатку російською мовою («Задачи Арнольда», М. : Фазис, 2000), а згодом англійською («Arnold'sProblems», 2 ed., Springer, 2005).

 
Сьогодні ця книга популярна в математичному світі, особливо серед молодих математиків, які прагнуть здобути визнання в науці. Обсяг книжки складає 653 сторінки, у ній зібрані авторські задачі від 1956 до 2003 рр. Широта охоплення проблем є унікальною і позначає передній край розвитку сучасної математичної науки. Серед перелічених задач половина до цього часу ще не розв’язана, а до тих, які вдалося розв’язати, наведено анотації зі вказівкою, де та які праці опубліковані.

 

Дуель у Парижі

Багато десятиліть математики ведуть полеміку про те, чи розвивається їхня наука самостійно, чи її джерелом слугують ідеї, що прийшли з фізики. На початку ХХ століття Анрі Пуанкаре, дискутуючи з Давидом Гільбертом, закликав до «створення тієї математики, яка потрібна для майбутнього розвитку квантової фізики і теорії відносності».

 

Цю ж точку зору поділяв і В. І. Арнольд. У своїй статті «Недооцінений Пуанкаре» він писав: «Порівнюючи сьогодні вплив проблем Пуанкаре і Гільберта, слід визнати, що математика ХХ століття розвивалася скоріше за напрямом, указаним Пуанкаре…». Тих, хто не погоджувався з цією тезою, Арнольд нищівно критикував. Особливо перепадало від нього послідовникам групи Бурбакі: «Найбільш повним сучасним втіленням ідеї безкорисності математики є діяльність секти бурбакістів».

 

Знаменита математична група Бурбакі виникла 1935 року у Франції подібно до творчого об’єднання поетів або художників. Молоді французькі математики Андре Вейль, Жан Дельсарт, Жан Дьєдонне, Анрі Картан і Клод Шевалле, об’єднавшись під вигаданим псевдонімом Ніколя Бурбакі, вирішили виконати програму Давида Гільберта і викласти математику з єдиної аксіоматичної точки зору.

 

Декілька поколінь бурбакістів писали багатотомні «Елементи математики». У різні роки до групи Бурбакі належали математики світового рівня, такі як Жан-Пьєр Серр, Жан-Луї Кошуль, Лоран Шварц, Еміль Борель, Александр Гротендік, П’єр Карт’є, Серж Ленг і Джон Тейт. Але 1983 року вийшла остання публікація Ніколя Бурбакі, а потім в одному з наукових журналів був надрукований некролог про закінчення земного буття Бурбакі. Програма групи так і залишилася незавершеною.

 

В. І. Арнольд так палко відстоював свої позиції в суперечках із бурбакістами, що 2001 року фактичний колишній лідер цієї групи, відомий французький математик Жан-П’єр Серр викликав його на... публічну математичну дуель. Сам Ж.-П. Серр, перший лауреат Абелівської премії, мотивував свій виклик так: «Я хочу розповісти про вплив Бурбакі на математику. Але якщо всі говоритимуть одне й те ж, та ще й панегірично, то це буде нудно. Тому я почав шукати, хто б міг висловити найбільш протилежну думку, ніж моя. І гортаючи довідник математиків світу, зрозумів, що це може бути лише Арнольд».

 

Дуель відбулася 13 березня 2001 року в Інституті Пуанкаре в Парижі. Було запрошено кілька сотень провідних учених світу, які мали вирішувати, чий виступ, чия програма є більш переконливою і більш плідною для розвитку математики в ХХІ столітті. Кожному з дуелянтів була надана година часу для виголошення своєї програми, критичного аналізу позиції суперника. Не вдаючись у деталі математичної дуелі, зазначимо, що програму Арнольда підтримали 75 % учених, що були свідками інтелектуального двобою.

 

Вже після дуелі, у заключному слові Ж.-П. Серр сказав: «Тепер ми ще раз переконались, яка це чудова наука —математика. Люди з такими протилежними думками, як ми двоє, можуть у ній співпрацювати, поважати один одного, знати і використовувати результати один одного, зберігаючи при цьому протилежні позиції… І дивіться — ми обидва залишилися живими…»

Далі буде.
Dounload PDF

Відгуки читачів