Обчислювальна математика

Укладач О. О. Старова, м. Харків


Обчислювальна математика — це розділ математики, у якому розглядають питання, пов’язані з виконанням різноманітних обчислень. У вужчому розумінні обчислювальна математика — теорія чисельних методів розв’язання типових математичних задач. Сучасна обчислювальна математика включає в коло своїх проблем вивчення особливостей обчислення із застосуванням комп’ютерів.

 

Як і будь-який розділ науки, обчислювальна математика виникла через потребу розв’язувати практичні задачі. Нині до таких задач належить управління складними технологічними процесами, керування польотом ракет, моделювання фізичних процесів (процесу ядерного розпаду, хімічних реакцій, зростання кристалів та ін.), а не тільки створення дедалі більш реалістичних і яскравих комп’ютерних іграшок, як тепер вважають чимало школярів.

 

Завданнями обчислювальної математики займалися такі видатні учені, як Ейлер, Лагранж, Чебишов, Якобі, Лежандр, фон Нейман і багато інших. Вони, часто виконуючи складні обчислення вручну на папері, мимоволі заклали основи науки про ефективні безпомилкові обчислення на комп’ютерах.

 

Історія виникнення і розвитку обчислювальної математики

Обчислювальна математика виникла досить давно. Ще в Месопотамії були розроблені методи здобуття квадратного кореня.

 

Зі зростанням потреб розв’язувати практичні завдання виникала необхідність створювати пристрої, що дозволяють проводити різні обчислення.

 

Приблизно з V ст. до н. е. у Давній Греції, Давньому Римі для арифметичних обчислень застосовували рахункову дошку під назвою абак (див. кольорову вкладку).

 

Добре пристосований до виконання операцій додавання і віднімання, абак виявився недостатньо ефективним приладом для виконання операцій множення і ділення. Тому відкриття логарифмів і логарифмічних таблиць Дж. Непером на початку XVII ст., що дозволили замінювати множення і ділення відповідно додаванням і відніманням, стало наступним великим кроком у розвитку обчислювальних систем ручного етапу. Його «Канон про логарифми» починався так: «Усвідомивши, що в математиці немає нічого нуднішого і стомливішого, ніж множення, ділення, добування квадратних і кубічних коренів, і що названі операції є даремною витратою часу і невичерпним джерелом невловимих помилок, я вирішив знайти простий і надійний засіб, щоб позбавитися них». У роботі «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614) Непер виклав властивості логарифмів, описав таблиці, правила користування ними і приклади застосувань.

 

Логарифми слугували основою створення чудового обчислювального інструмента — логарифмічної лінійки, що понад 360 років служив інженерно-технічним працівникам усього світу.

 

Логарифмічна лінійка — аналоговий обчислювальний пристрій, що дозволяє виконувати декілька математичних операцій, у тому числі множення і ділення чисел, піднесення до степеня (найчастіше до квадрата і куба), обчислення логарифмів, тригонометричних функцій та інші операції (див. кольорову вкладку).

 

В епоху наукової революції обчислювальна математика розвивалася швидкими темпами паралельно з математичним аналізом, де була потрібна велика кількість різноманітних обчислень. Окрім цього, обчислення широко використовувалися в небесній механіці (розділ астрономії, що застосовує закони механіки для вивчення руху небесних тіл). Це сприяло появі таких найважливіших складових фізики, як теорія про геліоцентричну систему влаштування світу, закони Кеплера, закони Ньютона. XVII і XVIII століття стали часом розробки значної кількості чисельних методів і алгоритмів.

 

Застосування великої кількості інженерних обчислень у XIX–XX століттях зажадало створення відповідних приладів. Одним із таких приладів став механічний пристрій для виконання математичних операцій, що називався арифмометром (див. кольорову вкладку).

 

У першій половині XX ст. для розв’язування диференціальних рівнянь почали активно використовувати аналогові ЕОМ (див. кольорову вкладку).

 

Винахід комп’ютера в середині XX ст. означав створення універсального інструмента для математичних обчислень. Поряд із мейнфреймами (високопродуктивний комп’ютер зі значним об’ємом оперативної і зовнішньої пам’яті, призначений для організації централізованих сховищ даних великої місткості і виконання інтенсивних обчислювальних робіт), інженери і вчені для виконання ручних операцій мали тільки калькулятори, які активно використовували аж до початку масового виробництва персональних комп’ютерів.

 

Математична модель

Дослідження різних явищ або процесів математичними методами здійснюється за допомогою математичної моделі. Математична модель є формалізованим описом мовою математики досліджуваного об’єкта. Таким формалізованим описом може бути система лінійних, нелінійних або диференціальних рівнянь, система нерівностей, певний інтеграл, многочлен із невідомими коефіцієнтами тощо. Математична модель повинна охоплювати найважливіші характеристики досліджуваного об’єкта і відбивати зв’язки між ними.

 

Аналіз вибраних математичних моделей для поставленого завдання розпочинають з аналізу і обробки вхідної інформації, що дуже важливо для точніших вхідних даних. Для такої обробки досить часто застосовують методи математичної статистики. Наступним кроком є чисельне розв’язування математичних задач і аналіз результатів обчислень. Ступінь достовірності результатів аналізу має відповідати точності вхідних даних. Поява точніших вхідних даних може потребувати вдосконалення побудованої моделі або навіть її заміни.

 

Склавши математичну модель, переходять до постановки обчислювальної задачі. При цьому встановлюють, які характеристики математичної моделі є початковими (вхідними) даними, які — параметрами моделі, а які — вихідними даними. Проводять аналіз отриманої задачі з точки зору існування і єдиності розв’язання.

 

На наступному етапі вибирають метод розв’язання задачі. У багатьох конкретних випадках знайти розв’язок задачі в явному вигляді неможливо, оскільки її не можна виразити за допомогою елементарних функцій. Такі задачі можна розв’язати лише наближено. Під обчислювальними (чисельними) методами мають на увазі наближені процедури, що дозволяють отримувати розв’язок у вигляді конкретних числових значень. Обчислювальні методи, як правило, реалізуються на ЕОМ. Для розв’язання однієї й тієї ж задачі можуть бути використані різні обчислювальні методи, тому треба вміти оцінювати якість різних методів і ефективність їх застосування для цієї задачі.

 

Потім для реалізації вибраного обчислювального методу складають алгоритм і програму для ЕОМ. Сучасному інженерові важливо вміти звести задачу до виду, зручного для реалізації на ЕОМ, і побудувати алгоритм розв’язання такої задачі.

 

Нині на ринку програмного забезпечення широко представлені як пакети, що реалізовують найбільш загальні методи розв’язання широкого кола задач, так і пакети, що реалізовують методи розв’язання спеціальних задач (наприклад, задач газової динаміки).

 

Результати розрахунку аналізують та інтерпретують. За потреби коригують параметри методу, а іноді ? математичну модель, і починають новий цикл розв’язування задачі.

 

Розділи обчислювальної математики

В обчислювальній математиці можна виділити такі три великі розділи:

- аналіз математичних моделей (пов’язаний із застосуванням ЕОМ у різних галузях наукової і практичної діяльності);

- розробка методів і алгоритмів розв’язання стандартних математичних задач;

- автоматизація програмування (пов’язана з питанням про спрощення взаємовідносин людини з ЕОМ, включаючи теорію і практику програмування задач для ЕОМ).

 

Методи і алгоритми розв’язання типових математичних задач із застосуванням обчислювальної техніки називаються чисельними. До типових задач належать:

алгебра:

- розв’язування систем лінійних рівнянь;

- обернення матриць;

- пошук власних значень і векторів матриць (обмежена і повна проблема власних значень);

- пошук сингулярних розкладань матриць (розкладання прямокутної дійсної або комплексної матриці, що застосовується в багатьох галузях прикладної математики; може бути використаний, наприклад, для знаходження рангу і ядра матриці);

- розв’язування нелінійних алгебраїчних рівнянь і їх систем;

диференціальні рівняння:

- диференціювання та інтеграція функцій однієї або декількох змінних;

- розв’язування звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь з окремими похідними, систем диференціальних рівнянь;

- розв’язування інтегральних рівнянь;

оптимізація:

- вивчення мінімальних і максимальних значень функціоналів (відображення, що задане на довільній множині і має числову область значень) на множинах;

дослідження операцій і теорія ігор:

- мінімаксні задачі (зокрема, для багатокрокових ігор);

математичне програмування:

- задачі апроксимації (науковий метод, що полягає в заміні одних об’єктів іншими, в тому або іншому сенсі близькими до початкових, але простішими);

- задачі інтерполяції (спосіб знаходження проміжних значень величини за наявним дискретним набором відомих значень);

 - задачі екстраполяції (особливий тип апроксимації).

 

У межах обчислювальної математики проводять вивчення і порівняльний аналіз методів розв’язання типових задач. Важливим елементом аналізу є пошук економічних моделей, що дозволяють здобути результат, використовуючи найменше число операцій, оптимізація методів розв’язання. Для задач великих розмірів особливо важливим є дослідження стійкості методів і алгоритмів, у тому числі до помилок округлення. Прикладами нестійких задач є обернені задачі (зокрема, пошук оберненої матриці), а також автоматизація обробки результатів експериментів.

 

Коло типових задач, що постійно розширюється, і зростання кількості користувачів визначили підвищення вимог до автоматизації. В умовах, коли знання конкретних чисельних методів є несуттєвим для користувача, зростають вимоги до стандартних програм розв’язання. З їх використанням стає непотрібним програмування методів розв’язання. Достатньо задати початкову інформацію.

 

Задачі розвитку обчислювальних систем, зокрема інформаційних, сьогодні є однією з найбільш актуальних наукових проблем.

 

Література

1. Пулькин С. П. Вычислительная математика. — М. : Просвещение, 1974.

2. Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. В. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1988.

3. Математическая энциклопедия / под ред. И. М. Виноградова. — М. : Советская энциклопедия, 1977.

4. Энциклопедический словарь юного математика / под ред. А. П. Савина. — М. : Педагогика, 1985.

 

Від редакції. Цією публікацією ми завершуємо цикл статей про розділи математики.

 

Наші постійні передплатники змогли зібрати колекцію вкладок, присвячених різним граням математики, і портретів видатних математиків, досягнення яких пов’язані з цими розділами науки.

Dounload PDF

Відгуки читачів