Топологія

Укладач О. О. Старова, м. Харків


Топологія — це розділ математики, що займається вивченням властивостей фігур (або просторів), які зберігаються за безперервних деформацій, таких, наприклад, як розтягування, стискування або вигинання.

 

Неперервна деформація — це деформація фігури, за якої не відбувається розривів (тобто порушення цілісності фігури) або склеювань (тобто ототожнення її точок). Такі геометричні властивості пов’язані з положенням, а не з формою або величиною фігури. На відміну від евклідової геометрії, геометрії Рімана, Лобачевського та інших геометрій, що займаються вимірюванням довжин і кутів, топологія має неметричний і якісний характер.

 

Топологія — порівняно молодий і дуже важливий розділ математики. Запаморочливий зліт цього розділу науки став одним із найнесподіваніших явищ у розвитку математики ХХ століття. Відомий французький математик Андре Вейль сказав, що за душу кожного математика борються ангел топології і диявол абстрактної алгебри, виразивши цим, по-перше, надзвичайну витонченість і красу топології і, по-друге, те, що вся сучасна математика є химерним переплетенням ідей топології та алгебри. А за останній час топологія дедалі більше проникає у фізику, хімію, біологію.

 

Перші важливі спостереження і точні топологічні співвідношення були знайдені ще Ейлером, Гаусом і Ріманом. Проте без перебільшення можна сказати, що топологія як розділ науки заснована у кінці XIX століття А. Пуанкаре.

 

Предмет вивчення топології

 

У кожному розділі математики можна бачити основну ідею. Основною ідеєю топології є ідея безперервності. Вона зустрічається вже в математичному аналізі, але, підпорядкована іншим ідеям аналізу, не отримує там помітного розвитку. Свій повний і всебічний розвиток ідея безперервності отримує в топології.

 

Предметом топології є дослідження властивостей фігур і їх взаємного розташування, що зберігаються гомеоморфізмом. Отже, топологію можна кваліфікувати як різновид геометрії. Важливою ознакою цієї геометрії є надзвичайна широта класу геометричних об’єктів, що потрапляють до сфери дії її законів.

 

Бажаючи пояснити, що таке топологія, іноді говорять, що це «геометрія на гумовій поверхні». Цей опис дозволяє вловити суть предмета.

 

Топологія вивчає ті властивості геометричних об’єктів, які зберігаються за безперервних перетворень.

 

Безперервні перетворення характеризуються тим, що точки, розташовані «близько одна до одної» до перетворення, залишаються такими і після того, як перетворення закінчене. За топологічних перетворень дозволено розтягувати і згинати, але заборонено рвати і ламати.

 

Розділи топології

 

У топології можна (умовно) виділити такі галузі:

- комбінаторна топологія — вивчає геометричні форми за допомогою їх розбиття на прості фігури, що регулярним способом примикають одна до одної;

 

- алгебраїчна топологія — займається вивченням алгебраїчних структур, пов’язаних з топологічними просторами, зі спиранням на теорію груп;

 

- загальна (або теоретико-множинна) топологія — вивчає множини як скупчення точок (на відміну від комбінаторних методів, що подають об’єкт як об’єднання простіших об’єктів) і описує множини в термінах таких топологічних властивостей, як відкритість, замкнутість, зв’язність та ін.;

 

- обчислювальна топологія — розділ, що знаходиться на перетині топології, обчислювальної геометрії і теорії обчислювальної складності; займається створенням ефективних алгоритмів для розв’язання топологічних проблем і застосуванням топологічних методів для розв’язання алгоритмічних проблем, що виникають в інших галузях науки.

 

Деякі основні поняття

 

Основні об’єкти вивчення в топології називають топологічними просторами. Інтуїтивно їх можна уявити собі як геометричні фігури. Математично це множини, наділені додатковою структурою під назвою топологія, що дозволяє формалізувати поняття безперервності.

Топологічний простір — це множина X і система його підмножин T, що задовольняють такі аксіоми:

1) уся множина X і порожня множина належать T;

2) об’єднання довільного сімейства множин, що належать T належить T;

3) перетин кінцевого сімейства множин, що належать T належить T.

 

Множини, що входять у систему підмножин T називають відкритими множинами, а саму цю систему — топологією на X.

 

Наприклад, дійсна пряма R є топологічним простором, якщо назвати відкритими множинами довільні (порожні, кінцеві або нескінченні) об’єднання кінцевих або нескінченних інтервалів.

 

Практично всяка фігура в сенсі якої-небудь іншої геометрії (афінної, проектної, диференціальної та ін.) може бути розглянута як топологічний простір. У цьому сенсі топологія є найбільш загальною геометрією; проте, чимало властивостей фігур, які вивчають в іншій геометрії, не стосуються предмета топології.

 

Одним з основних понять топології є гомеоморфізм, або гомеоморфне відображення. Два топологічні простори називають гомеоморфними, якщо існує взаємно однозначне безперервне відображення одного з них на інше, для якого зворотне відображення теж безперервне; при цьому саме відображення називають гомеоморфізмом.

 

Властивості фігур, які не змінюються в разі переходу до гомеоморфних фігур, називають топологічними.

 

Геометричні фігури, що переходять одна в одну за топологічних перетворень, називають гомеоморфними, або топологічно еквівалентними (див. кольорову вкладку). Коло і границя квадрата гомеоморфні, оскільки їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто вигинанням і розтягуванням без розривів і склеювань). Сфера і поверхня куба також гомеоморфні. Щоб довести гомеоморфність фігур, досить вказати відповідне перетворення, але той факт, що для якихось фігур знайти перетворення не вдається, не доводить, що ці фігури не гомеоморфні.

 

Топологічні властивості

 

Властивості, які вивчають у геометрії Евкліда, не є топологічними. Наприклад, прямолінійність не є топологічною властивістю, оскільки пряму лінію можна зігнути і вона стане звивистою. Трикутність теж не є топологічною властивістю, оскільки трикутник можна безперервно деформувати в коло. Довжини відрізків, величини кутів, площі — усі ці поняття змінюються за безперервних перетворень, тож про них у топології говорити не доводиться.

 

Прикладом топологічної властивості є наявність «дірки» у тора (причому важливо, що дірка не є частиною тора). Якої б безперервної деформації не зазнав тор, дірка залишиться (див. кольорову вкладку).

 

Інша топологічна властивість — наявність краю. Поверхня сфери не має краю, а порожня півсфера має, і жодні безперервні перетворення не можуть цього змінити.

 

Ще один приклад. Стрічка Мебіуса топологічно не те саме, що циліндрична стрічка, склеєна з тієї ж смужки. Стрічка Мебіуса має тільки один край, а циліндрична стрічка — два. Оскільки кількість країв — топологічна властивість, ці дві стрічки топологічно не еквівалентні.

 

Стрічка Мебіуса має ще одну властивість — вона має тільки одну сторону. Властивість однобічності важко описати математично строго і водночас досить наочно. У топології треба розглядати цю стрічку як деякий простір, а не підмножину простору Евкліда. Тоді не зовсім очевидно, чи є кількість сторін топологічною властивістю.

 

Наприклад, якщо площину розглядати саму по собі, то вона не має сторін, а якщо як частину тривимірного простору ? то має дві. Тривимірний простір, у нашому розумінні, теж не має сторін (він триває до безкінечності в будь-якому напрямку). Але якщо за четвертий вимір ввести час, то виявиться, що наш простір має дві сторони — минуле і майбутнє.

 

Очевидно, важко пояснити, що розуміти під числом сторін, не говорячи про те, щоб зрозуміти, чи є ця властивість топологічною.

 

Основні етапи розвитку топології

 

Окремі результати топологічного характеру були здобуті ще в ХVIII—ХIХ століттях (теорема Ейлера про опуклі многогранники, класифікація поверхонь і теорема Жордана про те, що проста замкнена лінія, що лежить у площині, розбиває площину на дві частини). На початку ХХ століття було створене загальне поняття простору в топології (метричне — М. Фреше, топологічне — Ф. Гаусдорф), виникають первинні ідеї теорії розмірності і доводять прості теореми про безперервні відображення (А. Лебег, Л. Брауер).

 

Перша чверть ХХ ст. завершується розквітом загальної топології. В цей час були закладені основи загальної теорії розмірності (П. С. Урисон), надано сучасного вигляду аксіоматиці топологічних просторів (П. С. Александров), введені основні поняття топології (П. С. Александров, А. Н. Тихонов, П. С. Урисон, Ж. Дьєдоне).

 

У другій половині ХХ століття в СРСР формується радянська школа загальної топології, створюються великі центри алгебраїчної топології в США, Великобританії та інших країнах, поновлюється інтерес до геометричної топології.

 

Розвиток топології триває на всіх напрямках, а сфера її застосувань безперервно розширюється.

 

Література

1. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М. : Наука, 1982.

2. Прасолов В. В. Наглядная топология. — М. : МЦНМО, 1995.

3. Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. В. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1988.

4. Стюарт Я. Топология // Квант. — 1992. — № 7.

Dounload PDF

Відгуки читачів