Застосовуємо математику. Використання прикладних задач під час вивчення понять довжини кола та площі круга

 

Т. О. Насадюк, м. Київ


 

Якісна підготовка школярів передбачає озброєння їх математичними методами пізнання реальної дійсності. Цьому сприяє зближення методів розв’язування задач, що розглядають у курсі математики, з методами розв’язання задач, що виникають на практиці. Тому використання прикладних задач під час вивчення математики є важливим аспектом свідомого сприйняття навчального матеріалу учнями, адже саме прикладні задачі викликають у школярів активізацію розумової діяльності, сприяють виникненню особистих мотивів навчання. Задачі, які містять нові відомості з різних життєвих галузей, розвивають інтерес і допитливість.

Задачі практичного змісту потребують особливої уваги з боку вчителя, тому що спочатку їх потрібно сформулювати мовою математики, тобто скласти математичну модель задачі.

Це найбільш складна (і тому найбільш цінна для учнів) частина роботи. Для її виконання вчителю слід уважно підійти до кожної конкретної задачі: підготувати ряд евристичних запитань, що спрямують учнів до конкретного навчального матеріалу; визначити суттєві та абстрагуватися від несуттєвих властивостей об’єкта; сформулювати умову та вимогу прикладної задачі мовою математики.

Для розв’язання задач практичного характеру, як правило, потрібні деякі додаткові довідкові дані. Доцільно не включати ці дані в текст задачі, даючи в такий спосіб учням можливість відчути, що даних задачі недостатньо для її розв’язання, зрозуміти, яких саме даних не вистачає, і за можливості змусити їх самих відшукати ці дані в довіднику. Це також потребує особливої підготовки і вчителя, і учнів.

На таких заняттях підвищується активність учнів, а в результаті покращується якість запам’ятовування і відтворення досліджуваного матеріалу, оскільки учні не тільки сприймають матеріал від учителя, а й самі беруть активну участь у його створенні та засвоєнні шляхом поєднання розумових операцій з практичними діями. Розв’язування задач практичного змісту сприяє розвитку творчої самостійності, ініціативи учнів, дозволяє краще реалізувати принцип зв’язку теорії з практикою.

На жаль, на уроках нерідко бракує часу для розв’язування таких задач. Тому я пропоную учням прикладні задачі на заняттях гуртка. Причому не обов’язково заняття гуртка повністю присвячувати розв’язуванню прикладних задач. Досить виділити декілька хвилин, для того щоб розглянути задачі практичного змісту з тієї теми, яку в цей час згідно з програмою вивчають на уроках.

Крім того, задачі практичного змісту доцільно розв’язувати під час літньої навчальної практики. Це сприяє переконанню учнів у прикладній спрямованості математики, показує зв’язок математики з життям.

Пропоную прикладні задачі, які можуть стати в пригоді під час вивчення таких важливих понять, як довжина кола та площа круга.

 

Задача 1. На лугу пасеться кінь, прив’язаний до кілка мотузкою, довжина якої дорівнює 10 м. Знайдіть площу ділянки, на якій може пастись кінь.

Відповідь. 100п м2 = 314 м2.

 

Задача 2. Мавпеня пробігло три кола цирковою ареною. Яку відстань пробігло мавпеня?

Для розв’язання цієї задачі потрібно знати, чому дорівнює діаметр циркової арени. Можна запропонувати учням самостійно знайти відомості про циркову арену.

У більшості цирків світу діаметр арени дорівнює 13 м (42 англійських футів). Так повелося з 1769 року. Тоді відставний британський драгунський офіцер Філіп Естлі організував перший у світі цирк, який виступав не під шатром, а в будівлі круглої форми. Естлі був власником вищої школи верхової їзди, тому більшу частину його циркової трупи становили наїзники. Будівлю цирку проектували так, щоб їм було зручно працювати. Сам досвідчений кавалерист, Естлі розрахував, що на арені діаметром 42 фути коню доведеться бігти, нахиляючись до центра арени. Відцентрова сила, що виникає при цьому, притискає наїзника, який стоїть на спині коня, ногами до сідла. Колом більшого діаметра кінь біг би пряміше, і наїзникові було б складніше утриматися на ньому. А колом меншого діаметра коню було б важко бігти.

Відповідь. = 122,46 м.

 

Задача 3. Скільки квадратних метрів тканини потрібно взяти, щоб пошити спідницю типу «сонце» для дівчинки з обхватом талії 45 см? Бажана довжина спідниці — 30 см.

Для розв’язання цієї задачі потрібно знати, який крій має спідниця типу «сонце».

Розв’язання. Оскільки обхват талії (тобто довжина внутрішнього кола) дорівнює 45 см, то його діаметр АВ = 45:3,14 = 14,3 (см). Тоді діаметр зовнішнього кола СD = 30+30+14.3 = 74.3 (см).

Якщо припустити, що це сторона квадрата, з якого потрібно виготовити відповідний крій, то його площа S = 0.6 м2.

Відповідь. =0.6 м2.

 

Задача 4. Скільки дерев загинуло під час лісової пожежі, якщо відомо, що ділянка, на якій була пожежа, нагадує круг діаметром 24 км, а на одному гектарі росло приблизно 700 дерев?

Розв’язання. Площа круга діаметром 24 км приблизно дорівнює 452,16 км2 = 45 216 га. Тоді кількість загиблих дерев: 45216*700 = 31651200.

Відповідь. 31 651 200 дерев.

 

Задача 5. Колодязь має воріт з валом діаметром 0,25 м. Щоб витягнути за його допомогою відро з колодязя, необхідно зробити 10 обертів. Яка глибина колодязя?

Відповідь. 7.85 м.

 

Задача 6 (жарт). На скільки кілометрів верхівка вашої голови пройшла б більше, ніж кінцівка вашої ноги, якби ви мали змогу пройти земну кулю за її екватором?

Розв’язання. Нехай діаметр земної кулі дорівнює d м. Тоді довжина екватора (а отже, й відстань, яку подолає кінцівка вашої ноги) дорівнює пd м. Нехай ваш зріст дорівнює 1,6 м. Тоді діаметр кола, який опише верхівка вашої голови, дорівнює (d+1,6) м, а довжина відповідного кола дорівнює п(d+1,6) = пd +п*1,6 що на 3,14*1,6 = 5 м більше, ніж відстань, яку подолає кінцівка вашої ноги.

Відповідь. На 0,005 км.

 

Задача 7 (жарт). Уявіть, що ви вирішили протягом години кататися на колесі огляду. Яку відстань ви «проїдете» за цей час, якщо діаметр колеса огляду дорівнює 50 м, а один оберт воно виконує за 20 хв?

Відповідь. 471 м.

 

Задача 8. Перед посівом соняшників у підприємців виникло питання щодо вибору найбільш врожайного сорту. Один з багатьох запропонованих сортів дає можливість виростити соняшники діаметром 30 см (у середньому), а другий — соняшники діаметром 20 см (у середньому). При цьому чисельність на 1 га рослин першого сорту вдвічі менша від чисельності на 1 га рослин другого сорту. Який сорт соняшнику вибрали підприємці? (Вважати, що густина наповнення і розмір насіння у соняшників однаковий).

Розв’язання. Нехай чисельність соняшників першого сорту дорівнює m штук на 1 га, тоді чисельність соняшників другого сорту дорівнює 2m штук на 1 га. Тоді площа, яку мають корзинки соняшників першого сорту, на 1 га дорівнює 706,5m см2, а корзинки соняшників другого сорту — 628m см2. Отже, підприємці вибрали перший сорт.

Відповідь. Перший сорт.

 

Задача 9. Щоб засіяти 1 м2 землі, потрібно 20 г насіння газонної трави. Кілограм такого насіння коштує 150 грн. Скільки коштів знадобиться, щоб засіяти газонною травою круглу ділянку радіусом 20 м?

Відповідь. 3768 грн.

 

Задача 10. Під час змагання велосипедистам необхідно було проїхати 5 кругів по колу радіусом 54 м. Яку загальну відстань у ході змагання довелось проїхати кожному велосипедисту?

Відповідь. 1695,6 м.

 

Задача 11. У Каліфорнії росте гігантська секвоя «Генерал Шерман». Її висота дорівнює 83,8 м, а довжина кола стовбура біля основи становить 34,9 м. Вік дерева налічує 2500 років. Це дерево вважають найбільшим живим організмом на Землі. Чому дорівнює діаметр стовбура цієї секвої біля основи?

Відповідь. 11 м.

 

Задача 12. Радіус колеса одного автомобіля дорівнює 16 см, а радіус колеса другого автомобіля — 20 см. Під час руху колесо першого автомобіля обертається зі швидкістю 30 об/с, а колесо другого — 25 об/с. Який автомобіль першим подолає відстань у 100 км?

Розв’язання. Довжина кола колеса першого автомобіля дорівнює 100,48 см. Отже, за 1 с він долає відстань 100,48*30 = 3014,4 (см).

Довжина кола другого автомобіля дорівнює 125,6 см. Отже, за 1 с він долає відстань 125,6*25 = 3140 (см). Оскільки швидкість другого автомобіля більша за швидкість першого, то він першим подолає відстань 100 км.

Відповідь. Другий автомобіль.

 

Задача 13. Будівельникам для встановлення башти потрібно залити фундамент форми круга. Зовнішнє коло цього фундамента повинно дорівнювати 45 м, а внутрішнє — 30 м. Визначте площу земельної ділянки під фундаментом башти.

Відповідь. 3532,5 м2.

 

Задача 14. Щоб залити один квадратний метр ковзанки потрібно 40 л води. Скільки води потрібно, щоб залити ковзанку круглої форми діаметром 35 м?

Відповідь. 12 250 л.

 

Література

1. Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. Примени математику. — М. : Наука, 1990.

2. Крайнова Ю. А.Применение математики к решению прикладных задач / Математика. — М. : Первое сентября.

Dounload PDF

Відгуки читачів