Не сердитесь на диаметр

 

Исаак Кушнир, г. Київ


 

Казалось бы, что можно выжать из школьной теоремы о диаметре, перпендикулярном хорде, и проходящим через ее середину?..
 
Мой семинар «Как стать суперучителем» существует десятки (!) лет. Опытные в геометрии участники семинара привыкли к всяким неожиданностям и достойно с ними справлялись (вспомните их решение задачи «вернувшейся с того света»). Тем не менее, когда я (в очередной раз) заявил о моем новом открытии и сформулировал его — крик поднялся невообразимый. Итак, как говорится, ребенок знает теорему.
 
Теорема 1
 
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Возмущение вызвала заявка: новая теорема.
 
Теорема 2
 
Прямая, проходящая через середину хорды и перпендикулярная к ней, является диаметром.
 
Претензий было много: «это не теорема», «легко доказать», «и вообще — есть окружность, описанная вокруг треугольника — там все решено с ее центром, а значит, с диаметром », и т.д., и т.д., и т.д.
 
Я терпеливо ждал, веря в разум коллег и … не обманулся. Наиболее опытный, я бы сказал, талантливый, резко остановив выступления четко подвел итоги: «Причем здесь доказательства?». Прямая и обратная теорема о диаметре, перпендикулярном хорде, известна всем. Но никто, кроме И. А., не заметил, что здесь есть еще одна грань в обратной теореме.
 
Теорема 3
Хорда является диаметром!
И мы, теперь, владеем ею. А доказывать ее можно по–разному. Дети это сделают. Поздравим нашего гениального руководителя с очередным открытием!
 
Остается признать — в этой маленькой теореме скрыта гениальная простота. Не пропустите!
 
***
 
Мне думается, что здесь будет уместен еще один ПРИЗНАК диаметра.
 
Теорема 4 (теорема Произволова)
 
В круге проведено несколько хорд так, что каждая из них проходит через середину какой либо другой из проведенных хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
 
Доказательство. Пусть O — центр круга, MN — хорда a, наиболее удаленная от центра, точка A — ее середина. 
 
По условию на хорде a имеется точка B, являющаяся серединой одной из проведенных хорд b. Значит, OB≥OA(как наклонная). Но с другой стороны OB≤OAв силу определения хорды a. Поэтому OB=OA, т.е. точки A и B совпадают  а поскольку середины хорд a и b совпадают, то они являются диаметрами. Но раз диаметром является хорда, наиболее удаленная от центра O, то и все проведенные хорды — диаметры.
Dounload PDF

Відгуки читачів