Передплатну кампанію на 2019 рік розпочато!

Оформити передплату за пільговими цінами

Бажаєте зекономити на передплаті?

Пропонуємо вам стати учасником програми лояльності «120 балів»!

 

Дізнатися більше

Не сердитесь на диаметр

 

Исаак Кушнир, г. Київ


 

Казалось бы, что можно выжать из школьной теоремы о диаметре, перпендикулярном хорде, и проходящим через ее середину?..
 
Мой семинар «Как стать суперучителем» существует десятки (!) лет. Опытные в геометрии участники семинара привыкли к всяким неожиданностям и достойно с ними справлялись (вспомните их решение задачи «вернувшейся с того света»). Тем не менее, когда я (в очередной раз) заявил о моем новом открытии и сформулировал его — крик поднялся невообразимый. Итак, как говорится, ребенок знает теорему.
 
Теорема 1
 
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Возмущение вызвала заявка: новая теорема.
 
Теорема 2
 
Прямая, проходящая через середину хорды и перпендикулярная к ней, является диаметром.
 
Претензий было много: «это не теорема», «легко доказать», «и вообще — есть окружность, описанная вокруг треугольника — там все решено с ее центром, а значит, с диаметром », и т.д., и т.д., и т.д.
 
Я терпеливо ждал, веря в разум коллег и … не обманулся. Наиболее опытный, я бы сказал, талантливый, резко остановив выступления четко подвел итоги: «Причем здесь доказательства?». Прямая и обратная теорема о диаметре, перпендикулярном хорде, известна всем. Но никто, кроме И. А., не заметил, что здесь есть еще одна грань в обратной теореме.
 
Теорема 3
Хорда является диаметром!
И мы, теперь, владеем ею. А доказывать ее можно по–разному. Дети это сделают. Поздравим нашего гениального руководителя с очередным открытием!
 
Остается признать — в этой маленькой теореме скрыта гениальная простота. Не пропустите!
 
***
 
Мне думается, что здесь будет уместен еще один ПРИЗНАК диаметра.
 
Теорема 4 (теорема Произволова)
 
В круге проведено несколько хорд так, что каждая из них проходит через середину какой либо другой из проведенных хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
 
Доказательство. Пусть O — центр круга, MN — хорда a, наиболее удаленная от центра, точка A — ее середина. 
 
По условию на хорде a имеется точка B, являющаяся серединой одной из проведенных хорд b. Значит, OB≥OA(как наклонная). Но с другой стороны OB≤OAв силу определения хорды a. Поэтому OB=OA, т.е. точки A и B совпадают  а поскольку середины хорд a и b совпадают, то они являются диаметрами. Но раз диаметром является хорда, наиболее удаленная от центра O, то и все проведенные хорды — диаметры.
Dounload PDF

Відгуки читачів