Алгебра

 

Укладач О. О. Старова, м. Харків


 

Задачі і методи алгебри

 

Алгебра, разом з арифметикою і геометрією, належить до числа найдавніших розділів математики. Завдання, а також методи алгебри, які відрізняють її від інших розділів математики, створювалися поступово. Еволюцію розвитку задач, розв’язування яких привело до виділення алгебри в окрему галузь математики, можна простежити на схемі.

 

Потреби громадської практики Пошук загальних прийомів для розв’язання однотипних задач Складання і розв’язування рівнянь Введення від’ємних, ірраціональних, комплексних чисел Дослідження властивостей різних числових систем Дослідження властивостей дій над різними об’єктами

 

При цьому в алгебрі сформувалися характерні для неї буквені позначення, що дозволили записати властивості дій над числами в стислій формі. Буквене числення тотожних перетворень, що дало можливість перетворювати за певними правилами (що відбиває властивості дій) буквений запис результату дій, складає апарат класичної алгебри.

 

Розвиток алгебри, її методів і символіки значно вплинув на розвиток найновіших галузей математики, підготувавши, зокрема, появу математичного аналізу. Запис простих основних понять аналізу, таких як змінна величина, функція, неможливий без буквеної символіки; у диференціальному та інтегральному численнях повністю використовують апарат класичної алгебри.

 

Застосування апарату класичної алгебри можливе всюди, де доводиться мати справу з операціями, аналогічними до додавання і множення чисел. Ці операції можуть проводитися не лише над числами, але й над об’єктами найрізноманітнішої природи. Найбільш відомим прикладом такого розширеного застосування алгебраїчних методів є векторна алгебра. Слідом за векторною алгеброю виникла тензорна алгебра, що стала одним з допоміжних засобів сучасної фізики.

 

Тому в ширшому, сучасному розумінні алгебру можна визначити як науку про системи об’єктів тієї чи іншої природи, в яких встановлені операції, за своїми властивостями подібні до додавання і множення чисел. Такі операції називають алгеброю.

 

Алгебра класифікує системи із заданими на них алгебраїчними операціями за їх властивостями і вивчає різні завдання, що виникають у цих системах, включаючи розв’язування задач і дослідження рівнянь, що в нових системах об’єктів отримує новий сенс (розв’язком рівнянь може бути вектор, матриця, оператор та ін.). Цей новий погляд на алгебру, що сформувався лише в ХХ ст., сприяв подальшому розширенню сфери застосування методів алгебри, у тому числі поза межами математики, наприклад у фізиці. Водночас він зміцнив зв’язки алгебри з іншими розділами математики і посилив вплив алгебри на їх подальший розвиток.

 

 

Історія виникнення і розвитку алгебри

 

Характерна відмінність алгебри від арифметики полягає в тому, що в алгебрі вводять невідому величину, дії над якою, продиктовані умовами задачі, призводять до рівняння. Таке трактування арифметичних задач можна зустріти в староєгипетському папірусі Ахмеса (близько 2000 років до н. е.). Формулювання і розв’язання задачі давали в словесній формі і тільки у вигляді конкретних числових прикладів. Однак ці приклади показують наявність загальних методів, якщо не за формою, то по суті рівносильних розв’язанню рівнянь 1-го та іноді 2-го степеня.

 

Стародавні вавилоняни за допомогою великих спеціальних таблиць уміли розв’язувати різноманітні задачі; деякі з них рівносильні розв’язанню квадратних рівнянь і навіть одного виду рівняння 3-го степеня. Серед учених, які вивчають історію математики, виникла суперечка про те, наскільки математику вавилонян можна вважати алгеброю. Не можна забувати, що стародавня математика була єдиною. Поділ математики на різні галузі відбувся набагато пізніше.

 

Учені Стародавньої Греції віддавали перевагу геометрії, яку вважали логічною дисципліною, необхідною школою для філософського розуму, а всякого роду числення, тобто питання арифметики і алгебри, ідеалістична філософія Платона не вважала гідним предметом науки. Поза сумнівом, ці галузі продовжували розвиватися, але до нашого часу дійшов тільки трактат Діофанта Александрійського «Арифметика», в якому він оперує з рівняннями 1-го і 2-го степеня; у зачатковій формі в нього можна знайти і від’ємні числа.

 

Учені середньовічного Сходу оригінально переробили математику стародавніх греків та індійців, причому особливо багато вони займалися саме алгеброю. Власне слово «алгебра» — арабське (аль-джебр) і є початком назви одного з творів аль-Хорезмі (слово «аль-джебр» означає один з прийомів перетворення рівнянь). Від часів аль-Хорезмі алгебру можна розглядати як окрему галузь математики.

 

У західній Європі вивчення алгебри почалося в ХIII столітті. Одним з видатних математиків того часу був італієць Леонардо Пізанський (Фібоначчі). Його «Книга абака» містила відомості про арифметику і алгебру, включаючи розв’язання квадратних рівнянь. Великим досягненням італійських алгебристів С. Ферро, Н. Тарталья і Дж. Кардано було відкриття в ХVI ст. формули для розв’язання кубічних рівнянь. Учень Кардано — Л. Феррарі розв’язав і рівняння 4-го степеня. Вивчення деяких питань, пов’язаних з коренями кубічних рівнянь, привело італійського алгебриста Р. Бомбеллі до відкриття комплексних чисел.

 

Подальший прогрес алгебри став можливим тільки після появи в загальному вживанні зручних символів для позначення дій. Цей процес відбувався повільно. У ХIII столітті італійські вчені замість слів «плюс» і «мінус» почали вживати букви  і  з особливою рискою згори. У кінці ХV ст. в математичних творах з’являються прийняті тепер знаки «+» і «–». Після цього слідує введення і загальне визнання інших знаків (степеня, кореня, дужок та ін.).

 

Французький учений Франсуа Вієт («батько алгебри») першим почав записувати задачі в загальному вигляді, позначаючи невідомі величини голосними, а відомі — приголосними буквами. Ці букви він сполучав введеними вже в той час знаками математичних операцій. Таким чином, уперше виникають буквені формули, такі характерні для сучасної алгебри. Починаючи з Рене Декарта (ХVII ст.) для позначення невідомих вживають переважно останні букви алфавіту. Тільки до середини ХVII ст. повністю склався апарат символів сучасної алгебри.

 

Введення символічних позначень і операцій над буквами, що замінюють які завгодно конкретні числа, було виключно важливим. Без цього знаряддя — мови формул — був би неможливий розвиток вищої математики, створення математичного аналізу, математичного вираження законів механіки і фізики тощо.

 

Виникнення аналітичної геометрії було в той же час і перемогою алгебри. Якщо раніше, у стародавніх греків, алгебраїчні задачі набували геометричної форми, то тепер, навпаки, алгебраїчні засоби вираження виявилися настільки зручними і наочними, що геометричні задачі перекладають мовою алгебраїчних формул.

 

Великою подією того періоду було видання книги Л. Ейлера «Універсальна арифметика», яка є прообразом сучасних підручників шкільної алгебри. Цей курс вийшов спочатку російською мовою (1768–1769), а потім був неодноразово виданий іноземними мовами.

 

Отже, до ХVIII ст. алгебра склалася приблизно в тому обсязі, який до наших днів викладають у середній школі. Ця алгебра охоплює дії додавання, множення з оберненими їм діями віднімання і ділення, а також піднесення до степеня (окремий випадок множення) і обернену йому дію — добування кореня. Вказані дії виконували над числами або буквами, які могли означати додатні або від’ємні, раціональні або ірраціональні числа. Вказані дії вживали в розв’язанні задач, що по суті зводилися до рівнянь 1-го і 2-го степеня.

 

Цю «елементарну» алгебру застосовують у техніці, фізиці та інших галузях науки і практики. Але зміст науки «алгебра» і її застосувань цим не обмежується. Важкі і повільні були тільки перші кроки. З ХVI століття, і особливо в ХVIII столітті, починається швидкий розвиток алгебри. Розв’язування систем лінійних рівнянь привело до створення теорії матриць і визначників. Наприкінці ХVIII століття було доведено твердження, яке називають основною теоремою алгебри:

 

Будь-яке алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь.

У ХХ столітті алгебра переживає новий розквіт.

 

Сучасний стан алгебри

 

Сучасна алгебра вивчає властивості операцій над будь-якими математичними об’єктами. У цьому сенсі алгебра є одним з розділів математики, що формують загальні поняття і методи для всієї математики.

Розглянемо приклад вивчення властивостей операцій над об’єктами, а не об’єктів, над якими проводять ці операції.

 

Байдуже, що є об’єктами, позначеними буквами  і важливо, щоб вони належали системі об’єктів, у якій визначені дві операції — додавання і множення, що мають перелічені властивості. Формула залишиться правильною, якщо буквами  і будуть позначені вектори на площині або в просторі, комутуючі матриці (тобто такі, що ), оператори диференціювання за двома незалежними змінними та ін.

 

Властивості операцій над математичними об’єктами іноді виявляються однаковими, незважаючи на відмінність об’єктів. Відволікаючись від природи об’єктів, але фіксуючи певні властивості операцій над ними, приходять до поняття множини, наділеної структурою алгебри, або універсальної алгебри.

 

Дослідження типів універсальної алгебри, а також властивостей універсальної алгебри на теоретико-множинній аксіоматичній основі складають окремий напрям у сучасній алгебрі, що називають загальною алгеброю.

Розвиваються також розділи, що вивчають окремі типи універсальної алгебри, забезпеченої додатковими структурами. Так виникли:

- топологічна алгебра;

- комутативна алгебра;

- геометрія алгебри;

- гомологічна алгебра;

- лінійна алгебра та ін.

 

Разом з фундаментальною роллю в математиці, алгебра має велике прикладне значення. Її застосовують у фізиці (теорія поля, кристалографія), у кібернетиці (теорія автоматів, алгебраїчна теорія кодування), у математичній економіці (лінійні нерівності) тощо.

 

Література

1. Депман И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре. — Л. : Детская литература, 1967.

2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины ХIХ века / Перевод с немецкого / Под ред. А. П. Юшкевича — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

3. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики / 5-е изд., испр. / Перевод с немецкого И. Б.Погребысского — М. : Наука, 1990.

4. Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. В. Прохорова. — М. : Советская энциклопедия, 1988.

5. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1985.

Dounload PDF

Відгуки читачів